Формула интерполяции между двумя значениями. §5
Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная интерполяция . Она состоит в том, что заданные точки (x i , y i ) при (i = 0. 1, ..., n ) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f (x ) приближается ломаной с вершинами в данных точках.
Уравнения каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (x i - 1, x i ), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки(x i -1, y i -1 ) и (x i , y i ), в виде
|
y=a i x+b i , x i-1 xx i |
a i =
Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента х, а затем подставить его в формулу (*) и найти приближенное значение функции в этой точке
Рисунок 3-3- График зависимости линейной интерполяции .
Решение профессиональной задачи
Ведем экспериментальные данные
ORIGIN:=0 Начало массива данных - считаем с нуля
i :=1..6 Число элементов в массиве
Экспериментальные
данные организованы в два вектора 
Выполним интерполяцию встроенными функциями MathCad
Линейная интерполяция
Lf(x i):=linterp(x,y,x)
Интерполяция кубическим спайном
CS:= cspline(x,y)
Строим кубический сплайн по экспериментальным данным
Lf(x i):=linterp(x,y,x i)
Интерполяция В- сплайном
Задаем порядок интерполяции. В векторе u должно быть на (n-1) меньше элементов, чем в векторе x , причем первый элемент должен быть меньше или равен первому элементу x , а последний - больше или равен последнему элементу x.
BS:=bspline(x,y,u,n)
Cтроим В- сплайн по экспериментальным данным
BSf(x i):=(BS, x,y,x i)
Строим график всех функций аппроксимации на одной координатной плоскости.
Рисунок 4.1-График всех функций аппроксимации на одной координатной плоскости.
Заключение
В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например, полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций, оказывается, эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений. Основным недостатком полиномиальной интерполяции является то, что она неустойчива на одной из самых удобных и часто используемых сеток - сетке с равноудаленными узлами. Если позволяет задача, эту проблему можно решить за счет выбора сетки с Чебышевскими узлами. Если же мы не можем свободно выбирать узлы интерполяции или нам просто нужен алгоритм, не слишком требовательный к выбору узлов, то рациональная интерполяция может оказаться подходящей альтернативой полиномиальной интерполяции.
К достоинствам сплайн-интерполяции следует отнести высокую скорость обработки вычислительного алгоритма, поскольку сплайн - это кусочно-полиномиальная функция и при интерполяции одновременно обрабатываются данные по небольшому количеству точек измерений, принадлежащих к фрагменту, который рассматривается в данный момент. Интерполированная поверхность описывает пространственную изменчивость различного масштаба и в то же время является гладкой. Последнее обстоятельство делает возможным прямой анализ геометрии и топологии поверхности с использованием аналитических процедур
Интерполяция - метод нахождения промежуточных переменных функции по нескольким уже известным значениям. Впервые формулировка "интерполирование" была введена Джоном Валлисом в научном сочинении "Арифметика бесконечных".
Линейная интерполяция
Простейшим случаем интерполяции является "линейная", то есть нахождение величины по двум заданным точкам. Данный процесс вычисления можно рассмотреть как линейную функцию, тем самым делая расчёт более наглядным. Нанесение функции на систему координат называют аппроксимацией. Для этого на оси координат необходимо провести прямую через известные точки. Логично, что искомое значение, находящееся между первыми двумя точками, можно найти графически, зная абсциссу X. Если координата X искомой величины лежит за пределами известных значений (X 1 , X 2), то процесс вычисления называется экстраполяция.
Калькулятор позволяет определить значение ординаты Y искомого значения, зная координаты X и Y двух других функций, а также её абсциссу. Для вычисления необходимо ввести значения заданных двух точек Х 1 , Y 1 и X 2 ,Y 2 , а также указать координату X искомой точки, а сервис автоматически определит метод расчёта и произведёт его.
Формула линейной интерполяции
Для вычисления используется следующая формула:
Пример расчёта
Дано: координаты двух точек А(3;1.5) и B(6;5).
Найти: ординату точки С с абсциссой 4.5.
После этого подставляем значения в указанную формулу:
Y = 5 + (1.5 - 5) / (3 - 6) · (4.5 - 6) = 5 + (-3.5) / (-3) · (-1.5) = 3.25.
Это глава из книги Билла Джелена .
Задача: некоторые инженерные проблемы проектирования требуют использования таблиц для вычисления значений параметров. Поскольку таблицы являются дискретными, дизайнер использует линейную интерполяцию для получения промежуточного значения параметра. Таблица (рис. 1) включает высоту над землей (управляющий параметр) и скорость ветра (рассчитываемый параметр). Например, если надо найти скорость ветра, соответствующую высоте 47 метров, то следует применить формулу: 130 + (180 – 130) * 7 / (50 – 40) = 165 м/сек.
Скачать заметку в формате или , примеры в формате
Как быть, если существует два управляющих параметра? Можно ли выполнить вычисления с помощью одной формулы? В таблице (рис. 2) показаны значения давления ветра для различных высот и величин пролета конструкций. Требуется вычислить давление ветра на высоте 25 метров и величине пролета 300 метров.
Решение: проблему решаем путем расширения метода, используемого для случая с одним управляющим параметром. Выполните следующие действия.
Начните с таблицы, изображенной на рис. 2. Добавьте исходные ячейки для высоты и пролета в J1 и J2 соответственно (рис. 3).
Рис. 3. Формулы в ячейках J3:J17 объясняют работу мегаформулы
Для удобства использования формул определите имена (рис. 4).
Проследите за работой формулы последовательно переходя от ячейки J3 к ячейке J17.
Путем обратной последовательной подстановки соберите мегаформулу. Скопируйте текст формулы из ячейки J17 в J19. Замените в формуле ссылку на J15 на значение в ячейке J15: J7+(J8-J7)*J11/J13. И так далее. Получится формула, состоящая из 984 символов, которую невозможно воспринять в таком виде. Вы можете посмотреть на нее в приложенном Excel-файле. Не уверен, что такого рода мегаформулы полезны в использовании.
Резюме: линейная интерполяция используется для получения промежуточного значения параметра, если табличные значения заданы только для границ диапазонов; предложен метод расчета по двум управляющим параметрам.
Управляющая программа обработки детали представляет собой траекторию движения центра фрезы. Траектория движения состоит из отдельных, соединяющихся друг с другом участков, линейных или дуговых . Точки, которые задают траекторию, называются опорными . В действительности управляющая программа – это последовательный набор опорных точек. Опорные точки могут лежать в плоскости, для их задания используется две координаты (двух координатная обработка) или в пространстве (объемная трех координатная обработка).На практике для перемещения инструмента системе ЧПУ не достаточно только опорных точек, необходимо более детальное ее представление. Для расчета промежуточных точек и выдачи команд движения по линейным осям используется специальное вычислительное устройство - интерполятор .
Интерполяторы делятся на линейные и круговые . Линейный интерполятор используется для отработки прямолинейного движения инструмента. На входе в интерполятор поступает информация о координатах опорных точек, на выходе для каждой координаты формируется последовательность импульсов необходимых для отработки заданной геометрии. Линейный интерполятор позволяет отрабатывать только прямолинейные движения. Однако обеспечить точное соответствие перемещения вдоль заданной прямой достаточно сложно. Итоговая траектория перемещения приближенно напоминает ломаную линию (рисунок ниже).
В процессе отработки прямой интерполятор попеременно управляет включением приводов то по оси X , то по оси Y (если прямая лежит в плоскости XY), посылая нужное количество импульсов на привода. На рисунке выше для отработки прямой на ось Y посылается один импульс, а на X - два импульса. Значение d определяет отклонение от заданной геометрии. Т.к. разрешающая способность позволяет задавать один импульс для перемещения на 0.001 мм, то итоговую ломаную кривую можно считать плавной .
Таким образом, линейный интерполятор рассчитывает необходимое количество импульсов по той или иной оси и выдает их на привода.
Программирование линейных перемещений
Чтобы использовать линейный интерполятор (осуществлять программирование линейных перемещений) используется подготовительная функция G01 и указываются координаты конечной точки перемещения с заданной скоростью.G01 X n.n Yn.n Z n.n Fn.n, где
X, Y, Z – адреса линейных осей;F – скорость перемещения;
Например, для программирования прямолинейного перемещения из точки A в точку B со скоростью 1000 мм/мин необходимо в УП сформировать следующий кадр.
Tool to find the equation of a function. Lagrange Interpolating Polynomial is a method for finding the equation corresponding to a curve having some dots coordinates of it.
Answers to Questions
dCode allow to use the Lagrangian method for interpolating a Polynomial and finds back the original using known points (x,y) values.
Example: By the knowledgeof the points \((x,y) \) : \((0,0),(2,4),(4,16) \) the Polynomial Lagrangian Interpolation method allow to find back \(y = x^2 \). Once deducted, the interpolating function \(f(x) = x^2 \) allow to estimate the value for \(x = 3 \), here \(f(x) = 9 \).
The Lagrange interpolation method allows a good approximation of polynomial functions.
There are others interpolation formulas (rather than Lagrange/Rechner) such as Neville interpolation also available online on dCode.
You can edit this Q&A (add new info, improve translation, etc.) " itemscope="" itemtype="http://schema.org/Question">
What are the limits for Interpolating with Lagrange?
Since the complexity of the calculations increases with the number of points, the program is limited to 25 coordinates (with distinct x-values in the Q).
Ask a new question
Source code
dCode retains ownership of the source code of the script Lagrange Interpolating Polynomial online. Except explicit open source licence (indicated Creative Commons / free), any algorithm, applet, snippet, software (converter, solver, encryption / decryption, encoding / decoding, ciphering / deciphering, translator), or any function (convert, solve, decrypt, encrypt, decipher, cipher, decode, code, translate) written in any informatic langauge (PHP, Java, C#, Python, Javascript, Matlab, etc.) which dCode owns rights will not be released for free. To download the online Lagrange Interpolating Polynomial script for offline use on PC, iPhone or Android, ask for price quote on