Определение промежуточного значения методом линейной интерполяции. §5
Если потребовать, чтобы совпадала с табличными значениями в выбранных узлах сетки, то получим систему
из которой можно определить параметры Этот способ подбора параметров называется интерполяцией (точнее, лагранжевой интерполяцией). По числу используемых узлов сетки будем называть интерполяцию одноточечной, двухточечной и т. д.
Если нелинейно зависит от параметров, то интерполяцию назовем нелинейной; в этом случае нахождение параметров из системы (1) может быть трудной задачей. Сейчас мы рассмотрим линейную интерполяцию, когда линейно зависит от параметров, т. е. представима в виде так называемого обобщенного многочлена
Очевидно, функции можно считать линейно-независимыми, иначе число членов в сумме и параметров можно было бы уменьшить. На систему функций надо наложить еще одно ограничение. Подставляя (2) в (1), получим для определения параметров следующую систему линейных уравнений:
Чтобы задача интерполяции всегда имела единственное решение, надо, чтобы при любом расположении узлов (лишь бы среди них не было совпадающих) определитель системы (3) был бы отличен от нуля:
Система функций, удовлетворяющих требованию (4), называется чебышевской. Таким образом, при линейной интерполяции надо строить обобщенный многочлен по какой-нибудь чебышевской системе функций.
Для линейной интерполяции наиболее удобны обычные многочлены, ибо они легко вычисляются и на клавишной машине и на ЭВМ. Другие системы функций сейчас почти не употребляются, хотя в теории подробно рассматривают интерполяцию тригонометрическими многочленами и экспонентами. Поэтому мы не приводим выражения обобщённого многочлена (2) через табулированные значения функции вывести это выражение несложно.
Управляющая программа обработки детали представляет собой траекторию движения центра фрезы. Траектория движения состоит из отдельных, соединяющихся друг с другом участков, линейных или дуговых . Точки, которые задают траекторию, называются опорными . В действительности управляющая программа – это последовательный набор опорных точек. Опорные точки могут лежать в плоскости, для их задания используется две координаты (двух координатная обработка) или в пространстве (объемная трех координатная обработка).На практике для перемещения инструмента системе ЧПУ не достаточно только опорных точек, необходимо более детальное ее представление. Для расчета промежуточных точек и выдачи команд движения по линейным осям используется специальное вычислительное устройство - интерполятор .
Интерполяторы делятся на линейные и круговые . Линейный интерполятор используется для отработки прямолинейного движения инструмента. На входе в интерполятор поступает информация о координатах опорных точек, на выходе для каждой координаты формируется последовательность импульсов необходимых для отработки заданной геометрии. Линейный интерполятор позволяет отрабатывать только прямолинейные движения. Однако обеспечить точное соответствие перемещения вдоль заданной прямой достаточно сложно. Итоговая траектория перемещения приближенно напоминает ломаную линию (рисунок ниже).
В процессе отработки прямой интерполятор попеременно управляет включением приводов то по оси X , то по оси Y (если прямая лежит в плоскости XY), посылая нужное количество импульсов на привода. На рисунке выше для отработки прямой на ось Y посылается один импульс, а на X - два импульса. Значение d определяет отклонение от заданной геометрии. Т.к. разрешающая способность позволяет задавать один импульс для перемещения на 0.001 мм, то итоговую ломаную кривую можно считать плавной .
Таким образом, линейный интерполятор рассчитывает необходимое количество импульсов по той или иной оси и выдает их на привода.
Программирование линейных перемещений
Чтобы использовать линейный интерполятор (осуществлять программирование линейных перемещений) используется подготовительная функция G01 и указываются координаты конечной точки перемещения с заданной скоростью.G01 X n.n Yn.n Z n.n Fn.n, где
X, Y, Z – адреса линейных осей;F – скорость перемещения;
Например, для программирования прямолинейного перемещения из точки A в точку B со скоростью 1000 мм/мин необходимо в УП сформировать следующий кадр.
Простейшим и часто используемым видом локальной интерполяции является линейная интерполяция . Она состоит в том, что заданные точки (x i , y i ) при (i = 0. 1, ..., n ) соединяются прямолинейными отрезками, и функция f (x ) приближается ломаной с вершинами в данных точках.
Уравнения каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (x i - 1, x i ), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки. В частности, для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки(x i -1, y i -1 ) и (x i , y i ), в виде
|
y=a i x+b i , x i-1 xx i |
a i =
Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента х, а затем подставить его в формулу (*) и найти приближенное значение функции в этой точке
Рисунок 3-3- График зависимости линейной интерполяции .
Решение профессиональной задачи
Ведем экспериментальные данные
ORIGIN:=0 Начало массива данных - считаем с нуля
i :=1..6 Число элементов в массиве
Экспериментальные
данные организованы в два вектора 
Выполним интерполяцию встроенными функциями MathCad
Линейная интерполяция
Lf(x i):=linterp(x,y,x)
Интерполяция кубическим спайном
CS:= cspline(x,y)
Строим кубический сплайн по экспериментальным данным
Lf(x i):=linterp(x,y,x i)
Интерполяция В- сплайном
Задаем порядок интерполяции. В векторе u должно быть на (n-1) меньше элементов, чем в векторе x , причем первый элемент должен быть меньше или равен первому элементу x , а последний - больше или равен последнему элементу x.
BS:=bspline(x,y,u,n)
Cтроим В- сплайн по экспериментальным данным
BSf(x i):=(BS, x,y,x i)
Строим график всех функций аппроксимации на одной координатной плоскости.
Рисунок 4.1-График всех функций аппроксимации на одной координатной плоскости.
Заключение
В вычислительной математике существенную роль играет интерполяция функций, т.е. построение по заданной функции другой (как правило, более простой), значения которой совпадают со значениями заданной функции в некотором числе точек. Причем интерполяция имеет как практическое, так и теоретическое значение. На практике часто возникает задача о восстановлении непрерывной функции по ее табличным значениям, например, полученным в ходе некоторого эксперимента. Для вычисления многих функций, оказывается, эффективно приблизить их полиномами или дробно-рациональными функциями. Теория интерполирования используется при построении и исследовании квадратурных формул для численного интегрирования, для получения методов решения дифференциальных и интегральных уравнений. Основным недостатком полиномиальной интерполяции является то, что она неустойчива на одной из самых удобных и часто используемых сеток - сетке с равноудаленными узлами. Если позволяет задача, эту проблему можно решить за счет выбора сетки с Чебышевскими узлами. Если же мы не можем свободно выбирать узлы интерполяции или нам просто нужен алгоритм, не слишком требовательный к выбору узлов, то рациональная интерполяция может оказаться подходящей альтернативой полиномиальной интерполяции.
К достоинствам сплайн-интерполяции следует отнести высокую скорость обработки вычислительного алгоритма, поскольку сплайн - это кусочно-полиномиальная функция и при интерполяции одновременно обрабатываются данные по небольшому количеству точек измерений, принадлежащих к фрагменту, который рассматривается в данный момент. Интерполированная поверхность описывает пространственную изменчивость различного масштаба и в то же время является гладкой. Последнее обстоятельство делает возможным прямой анализ геометрии и топологии поверхности с использованием аналитических процедур
Tool to find the equation of a function. Lagrange Interpolating Polynomial is a method for finding the equation corresponding to a curve having some dots coordinates of it.
Answers to Questions
dCode allow to use the Lagrangian method for interpolating a Polynomial and finds back the original using known points (x,y) values.
Example: By the knowledgeof the points \((x,y) \) : \((0,0),(2,4),(4,16) \) the Polynomial Lagrangian Interpolation method allow to find back \(y = x^2 \). Once deducted, the interpolating function \(f(x) = x^2 \) allow to estimate the value for \(x = 3 \), here \(f(x) = 9 \).
The Lagrange interpolation method allows a good approximation of polynomial functions.
There are others interpolation formulas (rather than Lagrange/Rechner) such as Neville interpolation also available online on dCode.
You can edit this Q&A (add new info, improve translation, etc.) " itemscope="" itemtype="http://schema.org/Question">
What are the limits for Interpolating with Lagrange?
Since the complexity of the calculations increases with the number of points, the program is limited to 25 coordinates (with distinct x-values in the Q).
Ask a new question
Source code
dCode retains ownership of the source code of the script Lagrange Interpolating Polynomial online. Except explicit open source licence (indicated Creative Commons / free), any algorithm, applet, snippet, software (converter, solver, encryption / decryption, encoding / decoding, ciphering / deciphering, translator), or any function (convert, solve, decrypt, encrypt, decipher, cipher, decode, code, translate) written in any informatic langauge (PHP, Java, C#, Python, Javascript, Matlab, etc.) which dCode owns rights will not be released for free. To download the online Lagrange Interpolating Polynomial script for offline use on PC, iPhone or Android, ask for price quote on
Многие из нас сталкивались с непонятными терминами в разных науках. Но находится очень мало людей, которых не пугают непонятные слова, а наоборот, приободряют и заставляют всё больше углубиться в изучаемый предмет. Сегодня речь пойдёт о такой вещи, как интерполяция. Это способ построения графиков по известным точкам, позволяющий с минимальным количеством информации о функции предсказать её поведение на конкретных участках кривой.
Перед тем как перейти к сути самого определения и рассказать о нём подробнее, немного углубимся в историю.
История
Интерполяция была известна ещё с древнейших времён. Однако своим развитием это явление обязано нескольким самым выдающимся математикам прошлого: Ньютону, Лейбницу и Грегори. Именно они развили это понятие с помощью более продвинутых математических способов, доступных в то время. До этого интерполяцию, конечно, применяли и использовали в вычислениях, но делали это совершенно неточными способами, требующими большого количества данных для построения модели, более-менее близкой к реальности.
Сегодня мы можем даже выбирать, какой из способов интерполяции подходит больше. Всё переведено на компьютерный язык, который с огромной точностью может предсказывать поведение функции на определённом участке, ограниченном известными точками.
Интерполяция представляет собой достаточно узкое понятие, поэтому её история не так богата фактами. В следующем разделе разберёмся, что такое интерполяция на самом деле и чем она отличается от своей противоположности - экстраполяции.
Что такое интерполяция?
Как мы уже говорили, это общее название способов, позволяющих построить график по точкам. В школе в основном это делают с помощью составления таблицы, выявления точек на графике и примерного построения линий, их соединяющих. Последнее действие делается исходя из соображений похожести исследуемой функции на другие, вид графиков которых нам известен.
Однако есть другие, более сложные и точные способы выполнить поставленную задачу построения графика по точкам. Итак, интерполяция - это фактически "предсказание" поведения функции на конкретном участке, ограниченном известными точками.
Существует схожее понятие, связанное с этой же областью, - экстраполяция. Она представляет собой также предсказание графика функции, но за пределами известных точек графика. При таком способе предсказание делается на основе поведения функции на известном промежутке, и потом эта функция применяется и для неизвестного промежутка. Такой способ очень удобен для практического применения и активно используется, например, в экономике для прогнозирования взлётов и падения на рынке и для предсказания демографической ситуации в стране.
Но мы отошли от основной темы. В следующем разделе разберёмся, какая бывает интерполяция и с помощью каких формул можно произвести эту операцию.
Виды интерполяции
Самым простым видом является интерполяция методом ближайшего соседа. С помощью этого способа мы получаем очень приблизительный график, состоящий из прямоугольников. Если вы видели хоть раз объяснение геометрического смысла интеграла на графике, то поймёте, о каком графическом виде идёт речь.
Кроме этого, существуют и другие методы интерполяции. Самые известные и популярные связаны с многочленами. Они более точны и позволяют предсказывать поведение функции при достаточно скудном наборе значений. Первым методом интерполяции, который мы рассмотрим, будет линейная интерполяция многочленами. Это самый простой способ из данной категории, и им наверняка каждый из вас пользовался в школе. Суть его заключается в построении прямых между известными точками. Как известно, через две точки плоскости проходит единственная прямая, уравнение которой можно найти исходя из координат данных точек. Построив эти прямые, мы получаем ломаный график, который худо-бедно, но отражает примерные значения функций и в общих чертах совпадает с реальностью. Так и осуществляется линейная интерполяция.
Усложнённые виды интерполяции
Есть более интересный, но при этом более сложный способ интерполяции. Его придумал французский математик Жозеф Луи Лагранж. Именно поэтому расчет интерполяции по этому методу назван его именем: интерполяция по методу Лагранжа. Фокус тут вот в чём: если способ, изложенный в предыдущем абзаце, использует для расчета только линейную функцию, то разложение методом Лагранжа предполагает также использование многочленов более высоких степеней. Но не так просто найти сами формулы интерполяции для разных функций. И чем больше точек известно, тем точнее получается формула интерполяции. Но есть и масса других методов.
Существует и более совершенный и приближенный к реальности метод расчета. Формула интерполяции, используемая в нём, представляет собой совокупность многочленов, применение каждого из которых зависит от участка функции. Такой метод называется сплайн-функцией. Кроме того, есть ещё и способы, позволяющие провести такую вещь, как интерполяция функций двух переменных. Тут всего два метода. Среди них билинейная или двойная интерполяция. Этот способ позволяет без труда построить график по точкам в трёхмерном пространстве. Другие методы затрагивать не будем. Вообще, интерполяция - это универсальное называние для всех этих способов построения графиков, но многообразие способов, которыми можно осуществить это действие, заставляет делить их на группы в зависимости от вида функции, которая подлежит этому действию. То есть интерполяция, пример которой мы рассмотрели выше, относится к прямым способам. Есть также обратная интерполяция, которая отличается тем, что позволяет вычислить не прямую, а обратную функцию (то есть x от y). Рассматривать последние варианты мы не будем, так как это достаточно сложно и требует хорошей математической базы знаний.
Перейдём к, пожалуй, одному из важнейших разделов. Из него мы узнаем, как и где обсуждаемая нами совокупность методов применяется в жизни.
Применение
Математика, как известно, царица наук. Поэтому даже если вы сначала не видите смысла в тех или иных операциях, это не значит, что они бесполезны. Вот, например, кажется, что интерполяция - это бесполезная вещь, с помощью которой только графики строить можно, которые сейчас мало кому нужны. Однако при любых расчётах в технике, физике и многих других науках (например, биологии), крайне важно представлять достаточно полную картину о явлении, имея при этом определённый набор значений. Сами значения, разбросанные по графику, не всегда дают чёткие представления о поведении функции на конкретном участке, значениях её производных и точек пересечения с осями. А это очень важно для многих областей нашей с вами жизни.
А как это пригодится в жизни?
На подобный вопрос бывает очень сложно ответить. Но ответ прост: никак. Именно эти знания вам никак не пригодятся. А вот если вы поймёте этот материал и методы, с помощью которых осуществляются эти действия, вы потренируете свою логику, которая в жизни очень пригодится. Главное - не сами знания, а те навыки, которые человек приобретает в процессе изучения. Ведь недаром существует поговорка: "Век живи - век учись".
Смежные понятия
Вы можете сами понять, насколько важна была (и до сих пор не теряет свою важность) эта область математики, взглянув на многообразие других концепций, связанных с данной. Мы уже говорили об экстраполяции, но есть ещё и аппроксимация. Может быть, вы уже слышали это слово. В любом случае то, что оно обозначает, мы тоже разбирали в этой статье. Аппроксимация, как и интерполяция, - это понятия, связанные с построением графиков функций. Но отличие первой от второй в том, что она представляет собой приблизительное построение графика на основе сходных известных графиков. Эти два понятия очень похожи между собой, и тем интереснее изучать каждое из них.
Заключение
Математика - не такая сложная наука, как кажется на первый взгляд. Она, скорее, интересная. И в этой статье мы попытались вам это доказать. Мы рассмотрели понятия, связанные с построением графиков, узнали, что такое двойная интерполяция, и разобрали на примерах, где она применяется.