Функциональная зависимость и реляционные базы данных. Интерпретация графика реальной зависимости - документ Функциональные зависимости в реальных явлениях

Функциональное описание реальных процессов Ключ к небольшой математической проблеме Золотое правило механики Информационный бум Звездный график Математические портреты пословиц

Функциональное описание реальных процессов Почему не бывает животных, какой угодно величины? Почему, например, нет слонов в три раза большего роста, чем существуют, но тех же пропорций? Наш ответ таков: стань слон в три раза больше, вес его тогда увеличился бы в двадцать семь раз, как куб размера, а площадь сечения костей и, следовательно, их прочность - только в девять раз, как квадрат размера. Прочности костей уже не хватило бы, чтобы выдержать непомерно увеличившийся вес. Такой слон был бы раздавлен собственной тяжестью.

В основу рассуждения положены две строгие математические зависимости. Первая устанавливает соответствие между разме¬рами подобных тел и их объемами: объем изменяется, как куб размера. Вторая связывает размеры подобных фигур и их площади: площадь изменяется, как квадрат размера. Этим выразительным примером мы хотим начать разговор о числовых функциях числового аргумента, которые можно использовать для описания реальных процессов.

Ключ к небольшой математической проблеме Отметим, что не всякую функциональную зависимость удается выразить краткой формулой, мы не случайно в качестве примера предоставляем вам, ключ от дверного замка: сейчас он в буквальном смысле слова послужит ключом к небольшой математической проблеме, к которой нас подводит беседа о функциях. Знаете ли вы, как таким ключом открывается дверной замок? Что происходит внутри этого слесарно -механического устройства, когда вы вставляете ключ в замочную скважину и делаете положенное число оборотов?

Чтобы замок открылся, нужно провернуть барабан, в котором сделана скважина. Но этому препятствуют штифты, стоящие тесным строем внутри скважины, скользящие вверх-вниз. Каждый из штифтов нужно поднять на такую высоту, чтобы их верхние торцы оказались вровень с поверхностью барабана. Если они выступят за нее, то войдут в прорезь обоймы, расположенную точно над заочной скважиной; если не достигнут поверхности барабана, то из прорези обоймы находящиеся там штифты вдвинутся в замочную скважину. И в том и в другом случае вращение барабана будет застопорено.

Штифты в замочной скважине поднимает ключ, вдвигаемый в нее. При этом высота каждого штифта, будучи сложена с высотой профиля ключа в соответствующей точке, должна дать в сумме диаметр барабана. Только тогда он провернется. Ну а причем здесь функция? Да притом, что, с точки зрения математика, вся эта механика есть не что иное, как операция сложения двух функций. Одна из них - это профиль ключа. Другая - линия, очерчивающая верхние торцы штифтов, когда замок заперт.

Операция сложения функций состоит в том, что в каждой точке из общей области их определения к значению одной функции прибавляется значение другой. Тем самым определяется, какое значение в данной точке имеет функция, называемая суммой двух исходных. . Секрет дверного замка в том, что в результате сложения двух функций, выраженных профилем ключа и строем штифтов, получается функция-константа, постоянное значение которой равно диаметру барабана

Золотое правило механики Вся богатейшая семья механизмов, окружающих современного человека, начиналась когда-то с семи простых машин. Древние знали рычаг, блок, клин, ворот, винт, наклонную плоскость и зубчатые колеса. Эти нехитрые по теперешним представлениям устройства умножали силу человека. Но, во сколько раз выиграешь в силе - во столько же раз проиграешь в расстоянии. Так гласит золотое правило механики, заключающее в себе теорию семи простых машин

График, приведенный на этой странице, есть наглядное выражение знаменитого правила. По горизонтальной оси отложена сила, с которой, например, нужно давить на плечо рычага, чтобы поднять заданный груз на заданную высоту. По вертикальной оси - расстояние, которое пройдет при этом точка приложения силы. Линия, выражающая такую функциональную зависимость, называется гиперболой. Закон обратной пропорциональности глядит на нас и со шкалы радиоприемника. Вы крутите ручку настройки, и стрелка движется вдоль шкалы, на которой два ряда чисел - метры и мегагерцы, длина волн и их частота. Длина волн растет, частота падает. Но присмотритесь: при любом сдвиге стрелки во сколько раз увеличилась длина волны, во столько же раз упала частота.

График гиперболы можно увидеть на лабораторном столе физика, демонстрирующего явления капиллярности. В штативе несколько тонких стеклянных трубочек, расположенных в порядке возрастания диаметров. Известно, что в тонком канале смачивающая жидкость поднимается тем выше, чем меньше его диаметр. Поэтому в самом узком канале жидкость поднялась выше всего, в другом канале, диаметр которого в два раза больше, - в два раза ниже, в третьем, что толще первого в три раза, - в три раза ниже и так далее. А теперь опустим в эту же жидкость клин, образованный двумя стеклянными пластинками, сомкнутыми по вертикальному ребру. В узкую щель между стеклами жидкость устремится, как в капилляр. Высота ее подъема определится шириной зазора. А он увеличивается равномерно по мере удаления от острия клина. Поэтому свободная поверхность жидкости четко вырисовывает гиперболу - график обратной пропорциональности.

Информационный бум Сейчас много говорят об информационном буме. Поток информации захлестывает: утверждают, что ее количество удваивается каждые десять лет. Изобразим этот процесс наглядно, в виде графика некоторой функции.

Примем объем информации в некоторый год за единицу. Поскольку эта величина послужит нам началом дальнейших построений, отложим ее над началом координат, в которых будет строиться график, по вертикальной оси. Отрезок, вдвое больший, восставим над единичой отметкой горизонтальной оси, считая, что эта отметка соответствует первому десятку лет. Еще вдвое больший отрезок восставим над точкой «два» , соответствующей второму десятку, еще вдвое больший - над точкой «три» . Декада за декадой- избранные нами значения аргумента выстроятся по горизонтальной оси в порядке равномерного нарастания, по закону арифметической прогрессии: один, два, три, четыре. . . Значения функции отложатся над ними, возрастая каждый раз вдвое, - по закону геометрической прогрессии: два, четыре, восемь, шестнадцать. . .

А что если посмотреть, как нарастал поток информации до того года, который принят за начальный? Столь же равномерно, откладывая единицу за единицей, пройдемся по оси абсцисс влево от начала координат и над отложенными значениями аргумента, будем наносить на график значения функции уже в порядке убывания - вдвое с каждым шагом. Теперь соединим все нанесенные точки непрерывной гладкой линией - ведь количество информации нарастает от десятилетия к десятилетию плавно, а не скачками. Перед нами график так называемой показательной функции.

Звездный график Сколько звезд на небе? Одним из первых, кто попытался точно ответить на этот вопрос, был древнегреческий астроном Гиппарх. При его жизни в созвездии Скорпиона вспыхнула новая звезда. Гиппарх был потрясен: звезды смертны, они, как люди, рождаются и умирают. И чтобы будущие исследователи могли следить за возникновением и угасанием звезд, Гиппарх составил свой звездный каталог. Он насчитал около тысячи звезд и разбил их по видимому блеску на шесть групп. Самые яркие Гиппарх назвал звездами первой величины, заметно менее яркие - второй, еще столь же менее яркие - третьей и так далее в порядке равномерного убывания видимого блеска - до звезд, едва ви¬димых невооруженным глазом, которым была присвоена шестая величина.

Когда ученые получили в свое распоряжение чувствительные приборы для световых измерений, стало возможным точно определять блеск звезд. Стало возможным сравнить, насколько соответствует данным таких измерений традиционное распределение звезд по видимому блеску, произведенное на глаз. Оценки того и другого рода сведем на одном графике. От каждой из шести групп, на которые звезды распределил Гиппарх, возьмем по одному типичному представителю. По вертикальной оси будем откладывать блеск звезды в единицах Гиппарха, то есть ее звездную величину, по горизонтальной - показания приборов. За масштабную единицу горизонтальной оси примем блеск звезды «б Тельца» , стоящей посредине в ряду представителей звездного солнца. Отметки на горизонтальной оси располагаются неравномерно. Объективные (прибор) и субъективные (глаз) характеристики блеска не пропорциональны другу.

С каждым шагом по шкале звездных величин прибор регистрирует возрастание блеска не на одну и ту же величину, как могло бы показаться, а примерно в два с половиной раза. Образно говоря, глаз сравнивает источники света по блеску, задаваясь вопросом «во сколько раз? » , а не вопросом «на сколько? » . Мы отмечаем не абсолютный, а относительный прирост блеска. И когда нам кажется, что он возрастает или убывает равномерно, в действительности мы шагаем по его шкале все более размашистыми шагами, покрывая при этом поистине гигантский диапазон: в миллионов различаются по блеску источники света, самый слабый и самый мощный, воспринимаемые человеческим глазом.

Именно в силу описанной физиологической особенности звезды, ярко горящие на ночном небе, не видны днем, тонут в ослепительном блеске солнца, рассеянном по небосводу. И там и здесь сияние звезд дает одну и ту же добавку к свету фона. Однако в первом случае (ночью) эта добавка велика по сравнению с мерцанием неба, во втором же (днем) составляет весьма незначительную долю от солнечного блеска (менее чем миллиардную даже для самых ярких звезд). Оттого же и голос солиста, когда его пение подхватывает хор, тонет в многоголосом звучании. Суть функциональной зависимости, описанной нами на примере зрения и слуха, в том, что возрастанию аргумента в одно и то же число раз всегда соответствует оно и то же приращение функции. Когда аргумент меняется по закону геометрической прогрессии, функция меняется по закону арифметической прогрессии.

Как же называется функция, с которой мы познакомились по звездному небу? Ординаты выделенных точек графика являются логарифмами абсцисс, взятых по основанию 2, 5. Такую функцию называют логарифмической

Математические портреты пословиц Современная математика знает множество функций, и у каждой свой неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на Земле. Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот. Точно так же облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них проявляются основные свойства функций.

Функции - это математические портреты устойчивых закономерностей, познаваемых человеком. Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функций, нам показалось естественным обратиться к пословицам. Ведь пословицы - это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа.

«Выше меры конь не скачет» Если представить траекторию скачущего коня как график некоторой функции, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой» . Это будет знакомый график функции синуса.

«Пересев хуже недосева» Урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друга. Эта закономерность станет особенно наглядной, если изобразить ее графиком, где урожай представлен как функция плотности посева. Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум- это наибольшее значение функции по сравнению с ее значениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни.

«Чем дальше в лес, тем больше дров» Можно изобразить графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса – от опушки, где все давным-давно собрано, до чащоб, куда не ступала нога заготовителя. График представляет количество дров как функцию пути. Согласно пословице эта функция неизменно возрастает. Такое свойство функции называется монотонным возрастанием.

«Каши маслом не испортишь» Качество каши можно рассматривать как функцию количества масла в ней. Согласно пословице эта функция не уменьшается с добавкой масла. Она, возможно, увеличивается, но может оставаться и на прежнем уровне. Подобного рода функция называется монотонно неубывающей.

Математические категории, о которых шла речь, естественным образом делятся на две группы. Одни описывают поведение функции в окрестности некоторых характерных точек (максимум, минимум, перегиб). Другие описывают поведение функции в некоторых промежутках (выпуклость, вогнутость, убывание, возрастание).

Спасибо за внимание! Как вы уже заметили, шрифт был 28+, это я сделал специально для тех, кто не видит со второй парты: D

План урока.

Группа: 13 «Э».

Учебник: Н.В. Богомолов «Математика».

Тема урока: Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Цель урока: помочь студентам осознать социальную, практическую и личностную значимость учебного материала, связанного с использованием функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Задачи урока:

закрепить знания и умения по исследованию функций и построению графиков;

учить применять знания, умения по теме «Исследование функции» в реальных процессах и явлениях;

развивать практические навыки по построению графиков функции с использованием компьютера;

воспитывать чувство ответственности при работе в малых группах.

Формы работы и взаимодействия студентов: фронтальная, индивидуальная, индивидуальная интерактивная, парная интерактивная, групповая интерактивная.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и умений.

Оборудование: интерактивная доска, компьютеры, мультимедийный проектор, экран, слайды презентации, раздаточный материал - карточки с тестовыми заданиями, карточки по рефлексии, карточки с задачами, заготовки с координатными осями для изображения пословиц, карточки для ответов по тестам.

Деятельность

преподавателя

Деятельность студентов

Формируемые УУД

Средства определения результата

Организационный этап

Приветствует студентов, проверяет готовность группы, проводит рефлексию настроения на начало урока(изобразите свое настроение на начало урока). Задает вопросы по представленным на слайдах изображениях, и подводит к формулировке темы урока. Корректирует ответы студентов, уточняет тему и задачи урока. Объявляет критерии оценок за работу на уроке.

Приветствуют преподавателя, изображают свое настроение на начало урока. Отвечают на поставленные вопросы. Пытаются озвучить тему урока и цели. Подписывают конверты- копилки, куда будут складывать баллы за работу на уроке.

Регулятивные: постановка учебной задачи, планирование, прогнозирование.

Выборочный фронтальный опрос

Проверка домашнего задания, воспроизведение и коррекция опорных знаний.

1. Проводит фронтальный опрос по графику на интерактивной доске.

Что такое функция?

Какова область определения функции?

Назовите множество значений функции.

Имеет ли функция нули?

Имеет ли данная функция точки экстремума?

Назовите промежутки монотонности функции.

Какой является функция: четной или нечетной?

Можно ли ее назвать периодической?

Проводит тестовую проверку знаний по вариантам с последующей самопроверкой по ключу.

Отвечают на вопросы преподавателя.

Выполняют тестовую работу и проверяют её. Набирают себе баллы.

Регулятивные: контроль, коррекция, оценка; личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке; коммуникативные: умение отвечать на вопросы; познавательные: контролирует и оценивает процесс и результаты деятельности;

Фронтальный опрос.

Тестовая работа.

Воспроизведение знаний и умений, проверка их качества.

1.Защита проектов.

Студенты, объединённые в группы, должны были представить собранную информацию по категориям « Демографическая ситуация в Пензенской области на примере п.Сосновоборска и с.Индерки в 2013г.», « Среднемесячная температура воздуха в Пензенской области за 2013г», « Атмосферное давление Пензенской области за октябрь 2013г», «Курс доллара за 9 месяцев текущего года» в виде графиков функций. Анализируются графики функций.

2. Работа с пословицами. Организует посредством групповой работы поиск решения поставленной задачи (Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функции, можно обратиться к пословицам. Ведь пословицы – это отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом. Изобразите пословицу в виде графика – как вы его понимаете, а затем обоснуйте своё решение. На доске заранее начерчены системы координат для экспериментов. Чья группа справится быстрее?

• Выше меры конь не скачет.

  Пересев хуже недосева).

Анализируют и высказывают решения своих проектных работ.

Совместно в группе пытаются графически изобразить пословицы и доказать свое решение.

Регулятивные: постановка учебной задачи, планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, саморегуляция;

познавательные: структурирует знания, строит речевое высказывание в устной форме, выбирает эффективный способ решения проблемной ситуации, совместно с учителем создаёт алгоритм деятельности;

коммуникативные: умеет слушать и вступать в диалог, участвует в коллективном обсуждении проблемы, формулирует собственное мнение и позицию, приходит к общему решению в совместной деятельности;

личностные: интерес к новому учебному материалу и способам деятельности.

Воспроизведение знаний и применение их.

Постановка и решение практических задач.

1. Решение задачи по дисциплине «Защита и охрана лесов» с использованием компьютера. Преподаватель совместно со студентами выполняют решение задачи.

   Контроль самостоятельной работы по решению задачи, связанной со специальностью экономика по компьютеру и коррекция знаний.

Выполняют решение задачи в программе Excel с помощью преподавателя.

Решают задачи экономического характера самостоятельно за компьютером и посылают решение на рабочий стол преподавателя.

Регулятивные: планирование, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка;

личностные: интерес к учебному материалу, способность к самооценке, понимание причин успеха; коммуникативные: умение слушать и задавать вопросы, контролирует действия партнера, использует речевые средства для различных коммуникативных задач;

познавательные: выбирает эффективные способы решения задач, контролирует и оценивает процесс и результаты деятельности.

Выполнение по образцу.

Анализ деятельности студентов.

Рефлексия урока. Д/з

Творческое домашнее задание: отыскать функции, описывающие реальные физические процессы, которые вы встречали на уроках физики. Исследуйте эти функции. У кого есть возможность, выдайте график на компьютере. Выставляет оценки. Организует соотнесение результата деятельности с учебной задачей. Проводит рефлексию настроения(изобразите свое настроение в конце урока и сравните его в начале и в конце урока).

Записывают домашнее задание. Подсчитывают баллы, набранные на уроке, и выставляют себе оценке по критериям. Дорисовывают свое настроение на конец урока и сравнивают с тем, что было в начале урока. По кругу дополняют одно из предложений:

было интересно…

было трудно…

я выполнял задания…

я понял, что…

теперь я могу…

я почувствовал…

я приобрел…

я научился…

у меня получилось

я смог…

я попробую…

меня удивило…

урок дал мне для жизни…

Личностные: имеет адекватную самооценку;

коммуникативные: строит понятные для партнеров речевые высказывания, допускает возможность существования у людей различных точек зрения.

Анализ высказываний студентов, оценочная шкала.

Задание №16

Интерпретация графика реальной зависимости.

Примеры графиков зависимостей, окружающих реальные процессы; чтение и интерпретация.

В данном задании проверяется умение анализировать графики функций, которые описывают зависимость м/у величинами.

Теория.

Определение.

1. Функция - это закон , по которому каждому значению элемента x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y .

2. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у - зависимой переменной. Значение у, соответствующее заданному значению х, называют значением функции.

Записывают: у = f (х). Буквой f обозначается данная функция, т. е. функциональная зависимость между переменными х и у; f (х) есть значение функции , соответствующее значению аргумента х. Говорят также, что f (х) есть значение функции в точке х . Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функции . Все значения, которые принимает функция f (х) (при х, принадлежащих области ее определения), образуют область значений функции .

Способы задания функции

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у = f (х),
где f (х) - некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента.

График функции.

Пусть функция задана аналитически формулой у = f (х). Если на координатной плоскости отметить все точки, обладающие следующим свойством: абсцисса точки принадлежит области определения функции, а ордината равна соответствующему значению функции, то множество точек (х; f (x)) есть график функции .

На практике для построения графика функции составляют таблицу значений функции при некоторых значениях аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют полученные точки линией. При этом предполагают, что график функции является плавной линией, а найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции. Преимуществом графического изображения по сравнению с табличным являются его наглядность и легкая обозримость; недостатком - малая степень точности. Большое практическое значение имеет удачный выбор масштабов. По графику можно найти (приблизительно) значение функции и для тех значений аргумента, которые не помещены в таблице.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Предмет – математика

Раздел – “Проект”

Форма проведения – творческий моно проект с открытой координацией.

Цели:

• Образовательный аспект: способствовать обобщению знаний по разделу “Функциональные зависимости”, расширить математические представления обучающихся о функции, и ее применении в других науках и повседневной жизни; способствовать овладению конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования.
• Развивающий аспект: развивать основные способы мыслительной деятельности обучающихся (умение анализировать, ставить и разрешать проблемы), формировать и развивать познавательный интерес к предмету, развивать речь и способность убедительно излагать мысли, способствовать развитию самостоятельности обучающихся.
• Воспитательный аспект: воспитывать взаимопонимание и терпимость, самостоятельность, умение презентовать себя, оценивать себя и других, руководить коллективом.
• Профориентационный аспект: способствовать созданию условий для формирования индивидуальной траектории развития профессиональных интересов обучающихся, выработке профессионально значимых качеств личности (творческих, организаторских, ораторских).

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран, Интернет.

Оформление : презентация, творческие работы обучающихся.

Мудрые мысли:

• “Величие человека - в его способности мыслить”.
  Б.Паскаль
• “Математика - это язык, на котором говорят все точные науки”.
  Н.И.Лобачевский

Золотые слова:

• Наука и труд, дивные всходы дают.
• Больше узнаешь – сильнее станешь.
• Будешь книги читать – будешь все знать.

Структура занятия

Этапы занятия	Содержание этапа	Материально-техническая база
1.Организационно-подготовительный	Приветствие. Проверка явки обучающихся на занятие, их готовности. Активизация обучающихся. Формулировка темы, целей занятия. Постановка перед обучающимися учебной задачи.	Оценочные листы
2.Подготовка к активной учебно-познавательной деятельности	Вступительное слово преподавателей	Оформление занятия: Компьютер Мультимедийный проектор
3. Защита проектных работ	Представление проектов, презентация окончательных результатов. Самооценка и взаимооценка выступлений. Оценивание качества выполнения работ всеми обучающимися	Проектные работы обучающихся:
4. Подведение итогов	Оценивание творческих работ	Оценочные листы

Ход урока

Вступление.

Преподаватель:

Доброе утро, дорогие друзья!

Наш звездный час “Познай мир” посвящен функциям. Значение их велико. Функции и реальный мир неотделимы. Они описывают явления в природе. Устанавливают закономерности, помогают открывать законы, которые служат человечеству.

К этому занятию каждый из вас выполнил определенную работу, которую продолжим сейчас. Постепенно открывая пункты плана, которые закрывают такие красивые звездочки, ведущие подведут нас к заключительному этапу звездного часа. (План заранее написан на доске)

Преподаватель:

Дорогие ребята!

Прошел этап рутинной подготовки к этому занятию. Вы много трудились. Задачи, которые необходимо было решить при выполнении проектной работы, были следующие:

• установить значимость понятия “функциональная зависимость” в реальных процессах и явлениях и в других науках;
• найти информацию из ресурсов интернет, относящиеся к теме проекта;
• подготовить показ конечного продукта своей работы в форме презентаций;

Преподаватель. Основополагающие вопросы, направляющие проект “Всё ли может описать функция? Как использовать математические навыки в своей профессиональной деятельности?”

И чтобы ответить на эти вопросы, вам было дано задание, систематизировать и расширить основные знания по разделу “Функция”, рассмотреть и ответить на следующие проблемные вопросы учебной темы проекта:

• Какова роль функции в твоей профессии?
• И какова роль функции в реальной жизни и в изучении других наук?

При подготовке необходимо было рассмотреть следующие учебные вопросы:

• Как возникла функция?
• Какие реальные явления она описывает?
• Как применяется в других науках и в профессиональной деятельности?
• Роль синусоиды в реальной жизни?
• Роль функции в математике?

Преподаватель. Оценивать ваши работы предстоит вам самим. На каждом столе у вас находится оценочный лист, вы выставляете оценку в свой оценочный лист, при этом вы должны учитывать:

• актуальность темы
• значимость разработки
• объем и полнота разработки
• уровень творчества
• аргументированность предлагаемых решений
• качество доклада
• объем и глубина знаний по теме
• ответы на вопросы.

Выступающим могут быть заданы вопросы.

Преподаватель: Занятие сегодня пройдет в необычной форме, роль преподавателей возьмут на себя ваши сокурсники: Мастренко Дмитрий – группа ТО-13 и Чапаев Виталий группа ТО –11.

Преподаватель: Настало время продемонстрировать то, что у вас получилось. Желаю вам успехов! В добрый путь! Мы начинаем.

Основная часть занятия.

Защита проектных работ. Презентации. Презентация 1. “История создания функции”

Презентация 2. “Функция в математике”

Презентация 3. “Синусоида в образах”

Презентация 4. “Функция в профессии”

Презентация 5 “Функциональные зависимости в других науках”

Презентация 6 “Функция в экономике”

1 студент

(Убирая звездочку, читает написанные на ней слова Галилея):

“Именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения присущие природе”.

Продолжает. “Функция выражает зависимость между переменными величинами. Каждая область знаний: химия, физика, биология, социология и др. имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и взаимосвязи между этими объектами в реальном мире”.

2 студент

Впервые функция вошла в математику под именем “переменная величина ” в труде французского математика и философа Рене Декарта в 1637 г. Сложный, очень длительный путь развития понятия функции. С какими великими именами связано это понятие нам расскажет студент группы ТО- 13 - Бигвава Даниил.

(Показ презентации).

1 студент

Понятие функции – одно из основных в математике.

2 студент

На уроках математики вы часто слышите это слово. Вы строите графики функций, занимаетесь исследованием функции, находите наибольшее или наименьшее значение функции. Но для понимания всех этих действий давайте определим, какую же роль играет функция в математике.

1 студент

Сейчас многие науки берут на вооружение математический аппарат. Такие функциональные зависимости, например, возраст деревьев, развитие амебы, развитие папоротника изучает наука биология.

2 студент

1 студент

Наряду с другими функциями, тригонометрические функции занимают важное место. Математический образ синусоиды можно получить, рассматривая зависимость солнечной энергии от угла падения на некоторый участок плоскости.

(Убирает вторую звездочку, читает на ней): “О солнце! Без тебя не стало б в мире жизни”. (После паузы продолжает): “Да будет свет!”.

2 студент

Функции помогают описывать процессы механического движения тел, небесных и земных. С помощью них ученые рассчитывают траектории движения космических кораблей и решают множество технических проблем.

1 студент

(Убирает звездочку и читает стихотворение Пушкина А.С.)

О, сколько нам открытий чудных

Готовит просвещенья век!

2 студент (Обращаясь к выступающему),

Скажите, пожалуйста, а вы сделали для себя маленькое открытие?

Выступающий

Да, я у меня изменилось представление о функции. Да, и вообще, я понял для чего мне нужно изучать математику.

1 студент

Сейчас много говорят об информационном буме. Поток информации захлестывает: утверждают, что ее количество удваивается каждые десять лет. Изобразим этот процесс наглядно, в виде графика некоторой функции.

2 студент

Примем объем информации в некоторый год за единицу. Поскольку эта величина послужит нам началом дальнейших построений, отложим ее над началом координат, в которых будет строиться график, по вертикальной оси. Отрезок, вдвое больший, восставим над единичной отметкой горизонтальной оси, считая, что эта отметка соответствует первому десятку лет.

1 студент

Еще вдвое больший отрезок восставим над точкой “два”, соответствующей второму десятку, еще вдвое больший - над точкой “три”. Декада за декадой - избранные нами значения аргумента выстроятся по горизонтальной оси в порядке равномерного нарастания, по закону арифметической прогрессии: один, два, три, четыре... Значения функции отложатся над ними, возрастая каждый раз вдвое,- по закону геометрической прогрессии: два, четыре, восемь, шестнадцать...

2 студент

Теперь соединим все нанесенные точки непрерывной гладкой линией - ведь количество информации нарастает от десятилетия к десятилетию плавно, а не скачками. Перед нами график показательной функции.

1 студент

Снимает звездочку, читает:

2 студент

На сегодняшний день.

1 студент

А причем здесь функция?

2 студент

Мы сейчас узнаем.

1 студент

(Снимает последнюю звезду со словами М.В. Ломоносова):

Открылась бездна, звезд полна;
Звездам числа нет, бездне дна.

2 - й преподаватель:

Астрономы сравнивают величину блеска звезд по логарифмической функции. Сегодня на нашем небосклоне зажглись несколько математических звездочек.

Награждение.

4. Подведение итогов.

Преподаватель:

Чему научились в процессе выполнения проектной работы?

В процессе реализации проекта мы приобрели следующие конкретные умения:

• свободно ориентироваться в многообразных функциональных зависимостях;
• применять полученные знания на практике;
• выдвигать гипотезы;
• быстро и точно подбирать необходимые для работы ресурсы, вести поиск в Интернете;
• работать в различных поисковых системах;
• точно формулировать вопрос;
• представлять результаты исследований в виде презентаций;
• интерпретировать результаты исследования;
• делать выводы;
• обсуждать результаты исследования, участвовать в дискуссии.

Преподаватель: Главная цель, которую мы определили, начиная работу над проектом, - считаю достигнутой. А как считаете, вы? У вас на столах система координат, постройте, пожалуйста, график функции, оценивающий все презентации.

Нормализация реляционной модели основана на понятии функциональной зависимости.

Пусть дано отношение R .

Атрибут А функционально определяет атрибут В (А  В), если каждому значению атрибута А в проекции R [ A , B ] В . Например, в отношении СТУДЕНТ (№ зачётной книжки, Фамилия, Имя, Отчество, Дата рождения) можно выделить следующие функциональные зависимости: № зачётноё книжки  Фамилия, № зачётной книжки  Имя, № зачётной книжки  Отчество, № зачётной книжки  Дата рождения. В то же время, Фамилия функционально не определяет № зачётной книжки , так как одной и той же фамилии могут соответствовать несколько зачётных книжек.

Если А  В и В  А , то имеет место взаимно однозначная зависимость (А  В ), например, ИНН  № зачётной книжки .

Определение функциональной зависимости можно распространить на любое число атрибутов в левой части: А 1 , А 2 , … ,А n  В , если каждому сочетанию значений атрибутов А 1 , А 2 ,…, А n соответствует единственное значение атрибута В .

Например, в отношении ЭКЗАМЕН (№ студента, код дисциплины, дата, код преподавателя, оценка) можно выявить следующие функциональные зависимости: № студента, код дисциплины  оценка; № студента, код дисциплины, дата  оценка; № студента, код дисциплины, дата, код преподавателя  оценка; № студента, дата, код преподавателя  оценка; код преподавателя, дата  код дисциплины и др. Условием существования данных функциональных зависимостей являются следующие утверждения: по указанной дисциплине данному студенту может быть поставлена только одна оценка за всё время существования базы данных; на одну дату преподаватель может принимать только один экзамен; конкретную дисциплину на конкретную дату преподаёт только один преподаватель. Таким образом, функциональные зависимости отражают конкретные правила предметной области. Изменение правил влечёт за собой изменение функциональных зависимостей.

Используя понятие функциональной зависимости можно сформулировать следующее правило:

если спроектированная реляционная модель удовлетворяет критерию нормализации, то единственными функциональными зависимостями в отношениях должны быть зависимости вида К  В , где К – первичный ключ отношения.

Из предыдущего утверждения можно дать такое определение ключа:

ключ – минимальное множество атрибутов, которое функционально определяет все атрибуты отношения по отдельности.

3 Теоремы о функциональных зависимостях

Теорема 1 . Любое множество атрибутов функционально определяет любое своё подмножество.

А, В  А; А, В  В.

Теорема 2 . Если А  В и А  С , то А  В, С и обратно, если А  В, С , то А  В и А  С .

Теорема 3 . Называется теоремой о транзитивности: если А  В и В  С , то А  С .

Теорема 4 . Если А  В , то А, С  В , где С – любой атрибут отношения.

Теорема 5 . Между атрибутами ключа не существует функциональных зависимостей.

Вернуться в содержание

Раздел «Реляционная теория БД»

Лекция №10

Нормальные формы отношений. Метод декомпозиции

1 Нормальные формы отношений

Нормальная форма отношения – это отношение с дополнительными ограничениями на хранящиеся в нем значения.

Первая нормальная форма (1НФ) – это отношение, в котором каждый его элемент имеет атомарное значение, принадлежащее соответствующему домену.

Вторая нормальная форма (2НФ) – это отношение, находящееся в первой нормальной форме и не содержащее неполных функциональных зависимостей.

Неполная функциональная зависимость имеет место, когда некоторый атрибут отношения зависит от подмножества атрибутов составного ключа.

Рассмотрим пример неполной функциональной зависимости. В примере функциональные зависимости будут изображены вертикально, что позволяет записывать их в более компактной форме. На рисунке 1 атрибут Количество зависит только от составного ключа, а атрибуты Имя поставщика и Сведения о поставщике зависят от подмножества составного ключа.

Рисунок 1 – Отношение, которое не находится во 2НФ

Недостатки такого отношения:

1) графы "Имя поставщика" и "Сведения о поставщике" не могут быть заполнены до фактической поставки конкретной партии;

2) если поставщик задержал поставку некоторой партии, то удаление кортежа приведёт к удалению сведений о поставщике;

3) если надо изменить сведения о поставщике, то их придётся менять во всех кортежах, где упоминается этот поставщик.

Для получения второй нормальной формы необходимо исходное отношение разделить на два отношения:

Отношение с составным ключом;

Отношение с ключом, являющимся подмножеством составного ключа.

Для рассматриваемого примера получим:

ПОСТАВЩИК (Номер поставщика , Имя поставщика, Сведения о поставщике);

ПАРТИЯ (Номер поставщика, Код товара, Номер партии товара , Количество).

Третья нормальная форма (3НФ) – это отношение, находящееся во второй нормальной форме и не содержащее транзитивных зависимостей.

Рассмотрим пример отношения, в котором присутствует транзитивная зависимость:

СТУДЕНТ (№студента , №группы, Код факультета).

В данном отношении №студента  №группы, №группы  Код факультета, №студента  Код факультета.

Недостатки отношения:

1) избыточность данных (код факультета повторяется для всех студентов группы, хотя было бы достаточно указать его один раз для группы);

2) усложнение контроля целостности данных.

Для получения 3НФ необходимо разделить исходное отношение на два:

СТУДЕНТ (№студента , №группы) и ГРУППА (№группа , Код факультета).