Суммирование расходящихся рядов методами абеля, бореля, чезаро и дирихле. Сумма ряда на практике Числовой ряд называется расходящимся если

Вычислить сумму ряда можно только в случае, когда ряд сходится. Если ряд расходится то сумма ряда бесконечна и нет смысла что-то вычислять. Ниже приведены примеры из практики нахождения суммы ряда, которые задавали в Львовском национальном университете имени Ивана Франка. Задания на ряды подобраны так, что условие сходимости выполняется всегда, однако проверку на сходимость мы выполнять будем. Эта и следующие за ней статьи составляют решение контрольной работы по анализе рядов.

Пример 1.4 Вычислить сумму рядов:
а)
Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда при номере следующему до бесконечности равна 0

то данный ряд сходится. Вычислим сумму ряда. Для этого преобразуем общий член, разложив его на простейшие дроби I и II типа. Методика разложения на простые дроби здесь приводиться не будет (хорошо расписана при интегрировании дробей), а лишь запишем конечный вид разложения

В соответствии с этим можем сумму расписать через сумму ряда образованного из простейших дробей, а дальше из разницы сумм рядов

Далее расписываем каждый ряд в явную сумму и выделяем слагаемые (подчеркивание), которые превратятся 0 после сложения. Таким образом сумма ряда упростится к сумме 3 слагаемых (обозначены черным), что в результате даст 33/40.

На этом базируется вся практическая часть нахождения суммы для простых рядов.
Примеры на сложные ряды сводятся к сумме бесконечно убывающих прогрессий и рядов, которые находят через соответствующие формулы, но здесь такие примеры рассматривать не будем.
б)
Вычисления: Находим границу n-го члена суммы

Она равна нулю, следовательно заданный ряд сходится и имеет смысл искать его сумму. Если граница отличная от нуля, то сумма ряда равна бесконечности со знаком "плюс" или "минус".
Найдем сумму ряда. Для этого общий член ряда который является дробью превратим методом неопределенных коэффициентов к сумме простых дробей I типа

Далее по инструкции которая приводилась ранее записываем сумму ряда через соответствующие суммы простейших дробей

Расписываем суммы и выделяем слагаемые, которые станут равными 0 при суммировании.

В результате получим сумму нескольких слагаемых (выделенные черным) которая равна 17/6 .

Пример 1.9 Найти сумму ряда:
а)
Вычисления: Вычислениям границы

убеждаемся что данный ряд сходится и можно находить сумму. Далее знаменатель функции от номера n раскладываем на простые множители, а весь дробь превращаем к сумме простых дробей I типа

Далее сумму ряда в соответствии с расписанием записываем через два простые

Ряды записываем в явном виде и выделяем слагаемые, которые после добавления дадут в сумме ноль. Остальные слагаемые (выделенные черным) и представляет собой конечную сумму ряда

Таким образом, чтобы найти сумму ряда надо на практике свести под общий знаменатель 3 простых дроби.
б)
Вычисления: Граница члена ряда при больших значениях номера стремится к нулю

Из этого следует что ряд сходится, а его сумма конечна. Найдем сумму ряда, для этого сначала методом неопределенных коэффициентов разложим общий член ряда на три простейшего типа

Соответственно и сумму ряда можно превратить в сумму трех простых рядов

Далее ищем слагаемые во всех трех суммах, которые после суммирования превратятся в ноль. В рядах, содержащих три простых дроби один из них при суммировании становится равным нулю (выделен красным). Это служит своеобразной подсказкой в вычислениях

Сумма ряда равна сумме 3 слагаемых и равна единице.

Пример 1.15 Вычислить сумму ряда:
а)

Вычисления: При общем член ряда стремящемся к нулю

данный ряд сходится. Преобразуем общий член таким образом, чтобы иметь сумму простейших дробей

Далее заданный ряд, согласно формулам расписания, записываем через сумму двух рядов

После записи в явном виде большинство членов ряда в результате суммирования станут равны нулю. Останется вычислить сумму трех слагаемых.

Сумма числового ряда равна -1/30 .
б)
Вычисления: Поскольку граница общего члена ряда равна нулю,

то ряд сходится. Для нахождения суммы ряда разложим общий член на дроби простейшего типа.

При разложении использовали метод неопределенных коэффициентов. Записываем сумму ряда из найденного расписание

Следующим шагом выделяем слагаемые, не вносящие никакого вклада в конечную сумму и остальные оставшиеся

Сумма ряда равна 4,5 .

Пример 1.25 Вычислить сумму рядов:
а)

Поскольку она равна нулю то ряд сходится. Можем найти сумму ряда. Для этого по схеме предыдущих примеров раскладываем общий член ряда через простейшие дроби

Это позволяет записать ряд через сумму простых рядов и, выделив в нем слагаемые, упростив при этом суммирование.

В этом случае останется одно слагаемое которое равен единице.
б)
Вычисления: Находим границу общего члена ряда

и убеждаемся что ряд сходится. Далее общий член числового ряда методом неопределенных коэффициентов раскладываем на дроби простейшего типа.

Через такие же дроби расписываем сумму ряда

Записываем ряды в явном виде и упрощаем к сумме 3 слагаемых

Сумма ряда равна 1/4.
На этом ознакомление со схемами суммирования рядов завершено. Здесь еще не рассмотрены ряды, которые сводятся к сумме бесконечно убывающей геометрической прогрессии, содержащие факториалы, степенные зависимости и подобные. Однако и приведенный материал будет полезен для студентов на контрольных и тестах.

На практике часто не столь важно найти сумму ряда, как ответить на вопрос о сходимости ряда. Для этой цели используются признаки сходимости, основанные на свойствах общего члена ряда.

Необходимый признак сходимости ряда

ТЕОРЕМА 1

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при
, т.е.
.

Кратко : если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

Доказательство. Пусть ряд сходится и его сумма равна . Для любого частичная сумма

Тогда . 

Из доказанного необходимого признака сходимости вытекает достаточный признак расходимости ряда: если при
общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится.

Пример 4.

Для этого ряда общий член
и
.

Следовательно, данный ряд расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Очевидно, что общий член этого ряда, вид которого не указан ввиду громоздкости выражения, стремится к нулю при
, т.е. необходимый признак сходимости ряда выполняется, однако этот ряд расходится, так как его сумма стремится к бесконечности.

Знакоположительные числовые ряды

Числовой ряд, все члены которого положительны, называется знакоположительным.

ТЕОРЕМА 2 (Критерий сходимости знакоположительного ряда)

Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и достаточно, чтобы все его частичные суммы были ограничены сверху одним и тем же числом.

Доказательство. Так как для любого
, то, т.е. последовательность
– монотонно возрастающая, поэтому для существования предела необходимо и достаточно ограничение последовательности сверху каким-либо числом.

Эта теорема в большей степени имеет теоретическое, чем практическое значение. Далее приведены другие признаки сходимости, имеющие большее применение.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

ТЕОРЕМА 3 (Первый признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных ряда:

(1)

(2)

причем, начиная с некоторого номера
, для любого
выполняется неравенство
Тогда:

Схематическая запись первого признака сравнения:

сход.сход.

расх.расх.

Доказательство. 1) Так как отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость, докажем теорему для случая
. Пусть для любого
имеем

, (3)

где
и
- соответственно частичные суммы рядов (1) и (2).

Если ряд (2) сходится, то существует число
. Поскольку при этом последовательность
- возрастающая, ее предел больше любого из ее членов, т.е.
для любого . Отсюда из неравенства (3) следует
. Таким образом, все частичные суммы ряда (1) ограничены сверху числом . Согласно теореме 2 этот ряд сходится.

2) Действительно, если бы ряд (2) сходился, то по признаку сравнения сходился бы и ряд (1). 

Для применения этого признака часто используют такие ряды-эталоны, сходимость или расходимость которых известна заранее, например:

3) - ряд Дирихле (он сходится при
и расходится при
).

Кроме этого часто используют ряды, которые можно получить с помощью следующих очевидных неравенств:

,

,
,
.

Рассмотрим на конкретных примерах схему исследования знакоположительного ряда на сходимость с помощью первого признака сравнения.

Пример 6. Исследовать ряд
на сходимость.

Шаг 1. Проверим знакоположительность ряда:
для

Шаг 2. Проверим выполнение необходимого признака сходимости ряда:
. Так как
, то

(если вычисление предела вызывает трудности, то этот шаг можно пропустить).

Шаг 3. Используем первый признак сравнения. Для этого подберем для данного ряда ряд-эталон. Так как
, то в качестве эталона можно взять ряд
, т.е. ряд Дирихле. Этот ряд сходится, так как показатель степени
. Следовательно, согласно первому признаку сравнения сходится и исследуемый ряд.

Пример 7. Исследовать ряд
на сходимость.

1) Данный ряд знакоположительный, так как
для

2) Необходимый признак сходимости ряда выполняется, ибо

3) Подберем ряд-эталон. Так как
, то в качестве эталона можно взять геометрический ряд

. Этот ряд сходится, следовательно, сходится и исследуемый ряд.

ТЕОРЕМА 4 (Второй признак сравнения)

Если для знакоположительных рядов и существует отличный от нуля конечный предел
, то ряды сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Пусть ряд (2) сходится; докажем, что тогда сходится и ряд (1). Выберем какое-нибудь число , большее, чем . Из условия
вытекает существование такого номера , что для всех
справедливо неравенство
, или, что то же,

(4)

Отбросив в рядах (1) и (2) первые членов (что не влияет на сходимость), можно считать, что неравенство (4) справедливо для всех
Но ряд с общим членом
сходится в силу сходимости ряда (2). Согласно первому признаку сравнения, из неравенства (4) следует сходимость ряда (1).

Пусть теперь сходится ряд (1); докажем сходимость ряда (2). Для этого следует просто поменять ролями заданные ряды. Так как

то, по доказанному выше, из сходимости ряда (1) должна следовать сходимость ряда (2). 

Если
при
(необходимый признак сходимости), то из условия
, следует, чтои– бесконечно малые одного порядка малости (эквивалентные при
). Следовательно, если дан ряд , где
при
, то для этого ряда можно брать ряд-эталон , где общий член имеет тот же порядок малости, что и общий член данного ряда.

При выборе ряда-эталона можно пользоваться следующей таблицей эквивалентных бесконечно малых при
:

1)
; 4)
;

2)
; 5)
;

3)
; 6)
.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

для любого
.

Так как
, то возьмем в качестве ряда-эталона гармонический расходящийся ряд
. Поскольку предел отношения общих членовиконечен и отличен от нуля (он равен 1), то на основании второго признака сравнения данный ряд расходится.

Пример 9.
по двум признакам сравнения.

Данный ряд знакоположительный, так как
, и
. Поскольку
, то в качестве ряда-эталона можно брать гармонический ряд. Этот ряд расходится и следовательно, по первому признаку сравнения, исследуемый ряд также расходится.

Так как для данного ряда и ряда-эталона выполняется условие
(здесь использован 1-й замечательный предел), то на основании второго признака сравнения ряд
– расходится.

ТЕОРЕМА 5 (Признак Даламбера)

существует конечный предел
, то ряд сходится при
и расходится при
.

Доказательство. Пусть
. Возьмем какое-либо число, заключенное между и 1:
. Из условия
следует, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

;
;
(5)

Рассмотрим ряд

Согласно (5) все члены ряда (6) не превосходят соответствующих членов бесконечной геометрической прогрессии
Поскольку
, эта прогрессия является сходящейся. Отсюда в силу первого признака сравнения вытекает сходимость ряда

Случай
рассмотрите самостоятельно.

Замечания :

следует, что остаток ряда

Признак Даламбера удобен на практике тогда, когда общий член ряда содержит показательную функцию или факториал.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд по признаку Даламбера.

Данный ряд знакоположительный и

(Здесь при вычислении дважды применено правило Лопиталя).

то по признаку Даламбера данный ряд сходится.

Пример 11. .

Данный ряд знакоположительный и
. Поскольку

то данный ряд сходится.

ТЕОРЕМА 6 (Признак Коши)

Если для знакоположительного ряда существует конечный предел
, то при
ряд сходится, а при
ряд расходится.

Доказательство аналогично теореме 5.

Замечания :

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд
.

Данный ряд знакоположительный, так как
для любого
. Поскольку вычисление предела
вызывает определенные трудности, то проверку выполнимости необходимого признака сходимости ряда опускаем.

то по признаку Коши данный ряд расходится.

ТЕОРЕМА 7 (Интегральный признак сходимости Маклорена - Коши)

Пусть дан ряд

члены которого положительны и не возрастают:

Пусть, далее
- функция, которая определена для всех вещественных
, непрерывна, не возрастает и

Какова сумма всех натуральных чисел? Интуиция подсказывает, что ответ - бесконечность. В математическом анализе сумма натуральных чисел является простым примером расходящегося ряда. Тем не менее, математики и физики сочли полезным придать дробные, отрицательные и даже нулевые значения суммам таких рядов. Цель моей статьи - желание отодвинуть завесу тайны, окружающую результаты суммирования расходящихся рядов. В частности, я буду использовать функцию Sum (функция поиска частичных сумм, рядов и т. п. в Mathematica ), а так же другие функции в Wolfram Language для того, чтобы объяснить в каком смысле стоит рассматривать следующие утверждения:

Важность обозначений формул буквами A, B, C, и D вскоре станет вам понятна.

Начнем с того, что напомним понятие сходящегося ряда, используя следующую бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Общий член ряда, начиная с n = 0 , определяется по формуле:

Теперь зададим сумму членов ряда от i = 0 до некоторого конечного значения i = n .

Эта конечная сумма называется частичной суммой ряда .

График значений таких частичных сумм показывает, что их значения приближаются к числу 2 с ростом n :

Применяя функцию Limit (поиск предела последовательности или функции в точке) найдем предел значения частичных сумм этого ряда при стремлении n к бесконечности, что подтвердит наши наблюдения.

Функция Sum даёт такой же результат, когда мы производим суммирование членов ряда в пределах от 0 до бесконечности.

Мы говорим, что данный ряд (сумма данной бесконечно убывающей геометрической прогрессии) сходится и что его сумма равна 2.

Вообще, бесконечный ряд сходится, если последовательность его частичных сумм стремится к некоторому значению при неограниченном увеличении номера частичной суммы. В этом случае, предельное значение частичных сумм называется суммой ряда.

Бесконечный ряд который не сходится называется расходящимся . По определению, сумма расходящегося ряда не может быть найдена с помощью рассмотренного выше метода частичных сумм. Тем не менее, математики разработали различные способы присваивания конечных числовых значений суммам этих рядов. Такая сумма называется регуляризованной суммой расходящегося ряда. Процесс вычисления регуляризованных сумм называется регуляризацией .

Теперь мы рассмотрим пример A из вступления.

“A” обозначает Абеля, знаменитого норвежского математика, который предложил одну из техник регуляризации расходящихся рядов. В ходе своей короткой жизни, он умер всего в 26 лет, Абель достиг впечатляющих результатов в решении одних из самых трудных математических задач. В частности, он показал, что решение алгебраического уравнения пятой степени не может быть найдено в радикалах, поставив тем самым точку в проблеме, которая оставалась нерешенной на протяжении 250 лет до него.

Для того чтобы применить метод Абеля, заметим, что общий член данного ряда имеет вид:

Это можно легко проверить, найдя несколько первых значений a [n ].

Как можно увидеть на графике ниже, частичные суммы ряда принимают значения, равные 1 или 0 в зависимости от того, четное n или нечетное.

Естественно, что функция Sum выдает сообщение, о том что ряд расходится.

Регуляризация Абеля может быть применена к этому ряду в два шага. Сначала мы строим соответствующий степенной ряд.

Затем мы берем предел этой суммы при x стремящемся к 1, заметим при этом, что соответствующий ряд сходится для значений x меньших, но не равных 1.

Эти два шага можно объединить, сформировав, по сути, определение суммы расходящегося ряда по Абелю .

Мы можем получить тот же ответ используя опцию Regularization для функции Sum следующим образом.

Значение 1 / 2 представляется разумным, так как оно является средней величиной из двух значений, 1 и 0, принимаемых частичной суммой данного ряда. Кроме того, используемый в данном методе предельный переход интуитивно понятен, т. к. при x = 1 степенной ряд совпадает с нашим расходящимся рядом. Однако, Абель был сильно обеспокоен отсутствием строгости, которое было присуще математическому анализу того времени, и выражал свою обеспокоенность об этом:

«Расходящиеся ряды - изобретение дьявола, и это стыдно на них ссылаться при каких бы то ни было доказательствах. С их помощью, можно сделать любой вывод, какой ему будет угоден, и именно поэтому эти ряды производят столько ошибок и столько парадоксов.» (Н. Х. Абель в письме к своему бывшему учителю Берндту Хольмбою, Январь 1826)

Обратимся теперь к примеру B, в котором утверждается, что:

“B” обозначает Бореля, французского математика, который работал в таких областях как теория меры и теория вероятностей. В частности, Борель связан с так называемой “теоремой о бесконечных обезьянах”, которая утверждает, что если абстрактная обезьяна будет случайным образом ударять по клавиатуре пишущей машинки на протяжении бесконечного количества времени, то вероятность того, что она напечатает некоторый конкретный текст, например, полное собрание сочинений Уильяма Шекспира, отлична от нуля.

Для того чтобы применить метод Бореля заметим, что общий член данного ряда имеет вид:

Регуляризация Бореля может быть применена к быстро расходящимся рядам в два шага. На первом шаге мы вычисляем экспоненциальную производящую функцию для последовательности членов данного ряда. Стоящий в знаменателе факториал обеспечивает сходимость данного ряд при всех значениях параметра t .

Затем мы производим преобразование Лапласа нашей экспоненциальной производящей функции и ищем его значение в точке s = 1 .

Эти шаги можно объединить, в итоге мы получим, по сути, определение суммы расходящегося ряда по Борелю .

Также мы можем использовать специализированные функции Wolfram Language для поиска экспоненциальной производящей функции и преобразования Лапласа:

При этом, ответ можно получить непосредственно с помощью Sum следующим образом.

Определение суммы по Борелю разумно, т. к. оно даёт тот же самый результат, что и обычный метод частичных сумм, если его применить к сходящемуся ряду. В этом случае можно поменять местами суммирование и интегрирование, и затем определить Гамма-функцию , при этом мы получим, что соответствующий интеграл будет равен 1 и останется просто, по сути, исходная сумма ряда:

Однако в случае с расходящимися рядами поменять местами знаки суммы и интеграла нельзя, что приводит к интересным результатам, которые даёт данный метод регуляризации.

Суммирование по Борелю представляет собой универсальный метод суммирования расходящихся рядов, который применяется, скажем, в квантовой теории поля. О применении суммирования по Борелю существует огромная коллекция литературы.

Пример C утверждает что:

“C” обозначает Чезаро (на англ. языке его фамилия пишется как Cesaro), итальянского математика, который внес значительный вклад в дифференциальную геометрию, теорию чисел и математическую физику. Чезаро был очень продуктивным математиком и написал около 80 работ в период с 1884 по 1886 г., до того, как получил степень PhD в 1887!

Для начала заметим, что общий член ряда, начиная с n = 0, имеет вид:

График показывает сильную осцилляцию частичных сумм данного ряда.

Метод Чезаро использует последовательность средних арифметических значений частичных сумм ряда для того, чтобы подавить осцилляции, что демонстрирует следующий график.

Формально говоря, суммирование по Чезаро определяется как предел последовательности средних арифметических значений частичных сумм ряда. Вычисляя данный предел для ряда из примера C, мы получим ожидаемый нами результат -1/2 (см. график выше).

Сумма по Чезаро может быть получена непосредственно, если мы в функции Sum используем данный тип регуляризации, указав соответствующее значение опции Regularization.

Метод суммирования по Чезаро играет важную роль в теории рядов Фурье , в которых ряды на основе тригонометрических функций используются для представления периодических функций. Ряд Фурье для непрерывной функции может и не сходится, но соответствующая сумма по Чезаро (или чезаровское среднее, как её обычно называют) всегда будет сходиться к функции. Этот красивый результат называется теоремой Фейера.

Наш последний пример утверждает, что сумма натурального ряда равна -1/12.

“D” означает Дирихле, немецкого математика, который совершил огромный вклад в теорию чисел и ряд других областей математики. О широте вкладов Дирихле можно судить, просто введя в Mathematica 10 следующий код.

Out//TableForm=

Регуляризация по Дирихле получила свое название от понятия “ряд Дирихле”, который определяется следующим образом:

Специальным случаем данного ряда является дзета-функция Римана , которую можно определить так:

Функция SumConvergence говорит нам, что этот ряд сходится в том случае, если действительная часть параметра s будет больше 1.

Однако, сама по себе дзета-функция Римана может быть определена и для других значений параметра s с помощью процесса аналитического продолжения, известного из теории функций комплексного переменного. Например, при s = -1, мы получим:

Но при s = -1, ряд, задающий дзета-функцию Римана и есть натуральный ряд. Отсюда мы и получаем, что:

Еще один способ осознания этого результата заключается в том, чтобы ввести бесконечно малый параметр ε в выражение члена нашего расходящегося ряда, а затем найти разложение полученной функции в ряд Маклорена с помощью функции Series , как показано ниже.

Первое слагаемое в разложении выше стремится к бесконечности при приближении параметра ε к нулю, в то же время третий член и все следующие члены стремятся к нулю. Если отбросить все члены, зависящие от ε, то оставшееся число -1/12 как раз и будет суммой по Дирихле натурального ряда. Таким образом, сумма по Дирихле получается путем отбрасывания бесконечно малых и бесконечно больших членов разложения ряда, построенного описанным нами способом. Это находится в противоречии с тем, что принято отбрасывать лишь бесконечно малые величины в обычном математическом анализе, поэтому результат суммирования расходящихся рядов по Дирихле не столь интуитивно понятен.
Стивен Хокинг применил данный метод к задаче вычисления Фейнмановых интегралов в искривленном пространстве-времени. Статья Хокинга описывает процесс дзета-регуляризации очень системно и она приобрела большую популярность после публикации.

Наши знания о расходящихся рядах основаны на глубочайших теориях, разработанных одними из лучших мыслителей последних нескольких столетий. Тем не менее, я соглашусь со многими читателям, которые как и я, чувствуют некоторое непонимание, когда они видят их в современных физических теориях. Великий Абель, вероятно, был прав, когда назвал данные ряды “изобретением дьявола”. Не исключено, что какой-то будущий Эйнштейн, обладающий умом, свободным от всяческих устоев и авторитетов, отбросит преобладающие научные убеждения и переформулирует фундаментальную физику так, что в ней не не будет места для расходящихся рядов. Но даже если такая теория станет реальностью, расходящиеся ряды все равно будут давать нам богатый источник математических идей, освещая дорогу к более глубокому пониманию нашей Вселенной.

Добавить метки

Рассмотрим бесконечную последовательность чисел , т.е. множество чисел, в котором каждому натуральному числу n по определённому правилу соответствует некоторое число a n . Выражение вида называется числовым рядом , сами числа - членами ряда , - общим членом ряда . Коротко ряд записывают так: .

Суммы , в которых присутствуют только n первых членов ряда, называются частичными суммами ряда .

Числовой ряд называется сходящимся , если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел . Число S называется суммой ряда .

Если предел не существует, то ряд называется расходящимся .

Пример 1. Дана бесконечная геометрическая прогрессия . Составим ряд

и исследуем его на сходимость, исходя из определения сходимости ряда. Для этого составим частичную сумму =. Из школьного курса математики известно, что . Напомним, как это получается. Для доказательства произведём деление

Вычислим теперь предел , учитывая, что здесь возможны три случая:

2) если q = 1, то =и ,

3) если q = -1, то =, и , а = , и . Значит, последовательность частичных сумм единого предела не имеет.

Поэтому делаем вывод: геометрическая прогрессия сходится, если и расходится при .

Пример 2. Доказать расходимостьряда

Решение. Оценим частичную сумму ряда:

> , т.е. > ,

а предел частичной суммы равен бесконечности (по известной теореме о пределах: если x n > y n , то ): = ¥. Значит, данный ряд расходится.

Свойства сходящихся рядов

Рассмотрим два ряда и . Второй ряд получен из первого путём отбрасывания первых m его членов. Этот ряд называется остатком ряда и обозначается r n .

Теорема 1 . Если члены сходящегося ряда умножить на некоторое число С , то сходимость ряда не нарушится, а сумма умножится на С .

Теорема 2 . Два сходящихся ряда можно почленно складывать (вычитать) и сумма полученного ряда будет равна , где - сумма первого ряда, а - сумма второго.

Теорема 3 . Если сходится ряд, то сходится любой из его остатков. Из сходимости остатка ряда следует сходимость самого ряда.

Можно сказать и по-другому: на сходимость ряда не влияет отбрасывание (или приписывание) конечного число членов ряда. И это свойство самое замечательное. Действительно, пусть сумма ряда равна бесконечности (ряд расходится). Мы складываем очень большое, но конечное число членов ряда. Эта сумма может быть очень большим, но, опять же, конечным числом. Так, значит, сумма остатка ряда, а там члены ряда уже ничтожно малые числа, всё равно равна бесконечности за счёт бесконечности числа слагаемых.

Теорема 4 . Необходимый признак сходимости.

Если ряд сходится, то его общий член a n стремится к нулю, т.е. .

Доказательство . Действительно,

И если ряд сходится, то и , а значит, при .

Отметим, что этот признак не является достаточным, т.е. ряд может расходиться, а его общий член стремится к нулю. В примере 2 ряд расходится, хотя его общий член .

Но если а n не стремится к нулю при , то ряд является расходящимся (достаточный признак расходимости ряда ).

Сходимость рядов с положительными членами

Ряд называется положительным , если все .

Частичные суммы такого ряда S n образуют возрастающую последовательность, так как каждая предыдущая меньше следующей, т.е. . Из теории пределов известно (теорема Больцано-Вейерштрасса), что если возрастающая последовательность ограничена сверху (т.е. для всех S n существует такое число М , что S n < М для всех n ), то она имеет предел. Отсюда следует следующая теорема.

Теорема . Ряд с положительными членами сходится, если частичные суммы его ограничены сверху, и расходится в противном случае.

На этом свойстве основаны все достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами . Рассмотрим основные из них.

Признак сравнения

Рассмотрим два ряда с неотрицательными членами: - (3) и - (4), причём , начиная с некоторого n . Тогда из сходимости ряда (4) следует сходимость ряда (3). А из расходимости ряда (3) следует расходимость ряда (4).

Иначе: если сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими членами; если расходится ряд с меньшими членами, то расходится и ряд с б?льшими членами.

Пример. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Общий член ряда , а ряд есть бесконечная сумма членов геометрической прогрессии со знаменателем < 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.

Признак сравнения в предельной форме

Рассмотрим два ряда и , и пусть , - конечное число. Тогда оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Пример.

Решение . Выберем ряд для сравнения, выяснив для этого, как ведёт себя общий член ряда при больших n :

Т.е. ~ , и в качестве ряда сравнения берём ряд , который расходится, что было показано ранее.

Вычислим предел

и значит, оба ряда ведут себя одинаково, т.е. данный ряд тоже расходится.

Признак Даламбера

Пусть дан ряд и существует предел . Тогда, если l < 1, то ряд сходится, если l > 1, то ряд расходится, если l = 1, то этот признак ответа не даёт (т.е. необходимо дополнительное исследование).

Пример. Исследовать на сходимость ряд (напомним, что , т.е. n -факториал есть произведение всех целых чисел от 1 до n ).

Решение. Для этого ряда , (для нахождения нужно в вместо n подставить n + 1). Вычислим предел

и так как предел меньше 1, данный ряд сходится.

Радикальный признак Коши

Пусть дан ряд и существует предел . Если l < 1, то ряд сходится, если l > 1, то ряд расходится, если l = 1, то этот признак ответа не даёт (необходимо дополнительное исследование).

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член ряда . Вычислим предел . Значит, ряд сходится.

Интегральный признак Коши

Рассмотрим ряд , и предположим, что на промежутке х Î существует непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция такая, что , n = 1, 2, 3… . Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Отметим, что если дан ряд то и функция рассматривается на промежутке .

Напомним, что указанный несобственный интеграл называется сходящимся , если существует конечный предел , и тогда =. Если при не имеет конечного предела, то говорят, что несобственный интеграл расходится .

Пример. Рассмотрим ряд - обобщённый гармонический ряд или ряд Дирихле с показателем степени s . Если s = 1, то ряд называют гармоническим рядом .

Исследуем данный ряд, используя интегральный признак Коши: =, и функция =обладает всеми свойствами, указанными в признаке. Вычислим несобственный интеграл .

Возможны три случая:

1) s < 1, и тогда

интеграл расходится.

2) при s = 1

интеграл расходится.

3) если s > 1, то

интеграл сходится.

Вывод . Обобщенный гармонический ряд сходится, если s > 1, и расходится, если s ≤ 1.

Этот ряд часто используют для сравнения с другими рядами, содержащими степени n .

Пример. Исследовать ряд на сходимость.

Решение. Для этого ряда ~ =, значит, данный ряд сравниваем с рядом , который сходится, как ряд Дирихле с показателем степени s = 2 > 1.

По признаку сравнения в предельной форме находим предел отношения общих членов данного ряда и ряда Дирихле:

Следовательно, данный ряд тоже сходится.

Смотреть что такое "РАСХОДЯЩИЙСЯ РЯД" в других словарях:

расходящийся ряд - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN divergent series … Справочник технического переводчика

расходящийся ряд - diverguojančioji eilutė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. divergent series vok. divergente Reihe, f rus. расходящийся ряд, m pranc. série divergente, f … Fizikos terminų žodynas

Ряд, у которого последовательность частичных сумм не имеет конечного предела. Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится, например 1 1 + 1 1 + ... + (1) n 1 + ...; примером Р. p., общий член которого стремится к нулю,… …

Добавление членов ряда Фурье … Википедия

Ряд, бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, . (1) Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии 1 + q + q 2 +... + q… … Большая советская энциклопедия

Содержание. 1) Определение. 2) Число, определяемое рядом. 3) Сходимость и расходимость рядов. 4) Условная и абсолютная сходимость. 5) Равномерная сходимость. 6) Разложение функций в ряды. 1. Определения. Р. есть последовательность элементов,… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

I бесконечная сумма, например вида u1 + u2 + u3 +... + un +... или, короче, Одним из простейших примеров Р., встречающихся уже в элементарной математике, является сумма бесконечно убывающей… … Большая советская энциклопедия

Б е с к о н е ч н а я с у м м а, последовательность элементов (наз. ч л е н а м и д а н н о г о р я д а) нек рого линейного топологич. пространства и определенное бесконечное множество их конечных сумм (наз. ч а с т и ч н ы м и с у м м а м и р я… … Математическая энциклопедия

Ряд Фурье представление произвольной функции f с периодом τ в виде ряда Этот ряд может быть также переписан в виде. где Ak амплитуда k го гармонического колебания (функции cos), кру … Википедия