Расчётные схемы балок и определение реакции их опор. Определение реакции опор с моментом
Задание
Задана горизонтальная двух опорная балка. Балка нагружена активными силами: сосредоточенной F , распределенной силой интенсивностью q и парой сил с моментом М (табл.2.1 и рис 2.6).
Цель работы – построить расчётную схему балки, составить уравнения равновесия балки, определить реакции ее опор и выявить наиболее нагруженную опору.
Теоретическое обоснование
Во многих машинах и сооружениях встречаются конструктивные элементы, предназначенные преимущественно для восприятия нагрузок, направленных перпендикулярно их оси. Расчетные схемы таких элементов (валы, части металлоконструкции и др.) могут быть представлены балкой. Балки имеют опорные устройства для передачи усилий и сопряжения с другими элементами.
Основными типами опор балок являются шарнирно – подвижная, шарнирно – неподвижная опоры и жесткая заделка.
Шарнирно – подвижная опора (рис.2.1,а) допускает поворот балки вокруг оси шарнира и линейное перемещение на незначительное расстояние параллельно опорной плоскости. Точкой приложения опорной реакции является центр шарнира. Направление реакции R – перпендикуляр к опорной поверхности.
Шарнирно – неподвижная опора (рис.2.1,6) допускает только поворот балки вокруг оси шарнира. Точкой приложения являются также центр шарнира. Направления реакции здесь неизвестно, оно зависит от нагрузки, приложенной к балке. Поэтому для такой опоры определяются две неизвестные – взаимно перпендикулярные составляющие R x и R y опорной реакции.
Жесткая заделка (защемление) (рис.2.1,в) не допускает ни линейных перемещений, ни поворота. Неизвестными в данном случае являются не только величина, но и её точка приложения. Таким образом, для определения опорной реакции необходимо найти три неизвестные: составляющие R x и R y по осям координат и реактивный момент MR относительно центра тяжести опорного сечения балки.
А б в
Рис.2.1
Равновесие балки под действием любой системы заданных сил, расположенных в одной плоскости, может быть обеспечено одной жёсткой заделкой или двумя опорами – подвижной и неподвижной. Балки называются соответственно консольными (рис.2.2,а) или двух опорными (рис.2.2,б)
Рис.2.2
На балку действуют заданные силы и пары сил. Силы по способу приложения делятся на распределенные и сосредоточенные. Распределенные нагрузки задаются интенсивно q, Н/м и длиной 1, м. равномерно распределенные нагрузки условно изображаются в виде прямоугольника, в котором параллельные стрелки указывают, в какую сторону действует нагрузка (рис.2.3). В задачах статики равномерно – распределенную нагрузку можно заменять равнодействующей сосредоточенной силой Q, численно равной произведению q * 1, приложенной посредине длины и направленной в сторону действия q.
Рис.2.3 Рис. 2.4
Сосредоточенные нагрузки приложены на сравнительно небольшой длине, поэтому считается, что они приложены в точке. Если сосредоточенная сила приложена под углом к балке, то для определения реакции опор удобно разложить её на две составляющие – F x = Fcos α и F y =F sin α (рис.2.4).
Реакции опор балки определяются из условий равновесия плоской системы произвольно расположенных сил. Для плоской системы можно составить три независимых условия равновесия:
∑F ix = 0; ∑F iy = 0; ∑M io = 0 или
∑М ia = 0; ∑M iB = 0; ∑M iC = 0 или } (2.1)
∑M iA = 0; ∑M iB = 0; ∑F ix = 0.
Где О, А,В, С – центры моментов.
Рационально выбрать такие уравнения равновесия, в каждое из которых входила бы по одной неизвестной реакции.
Порядок выполнения работы
1. В соответствии с заданием изобразить балку и действующие заданные силы.
Выбрать расположение координатных осей: совместить ось х с балкой, а ось у направить перпендикулярно оси х.
1. Произвести необходимые преобразования: силу, наклоненную к оси балки под углом а, заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, а равномерно распределенную нагрузку – её равнодействующей.
2. Освободить балку от опор, заменив их действие реакциями опор, направленными вдоль осей координат.
3. Составить уравнения равновесия балки, чтобы решением каждого из трёх уравнений было определение одной из неизвестных реакций опор.
4. Проверить правильность определения реакций опор по уравнению, которое не было использовано для решения задач.
5. Сделать вывод о наиболее нагруженной опоре.
6. Ответить на контрольные вопросы.
Контрольные вопросы
1.Сколько независимых уравнений равновесия можно составить для плоской системы параллельных сил?
2.Какие составляющие реакции опор балок возникают в шарнирно – подвижной, шарнирно – неподвижной опорах и жёсткой заделке?
3.Какую точку целесообразно выбрать в качестве центра момента при определении реакций опор?
4.Какая система является статически неопределимой?
Пример выполнения
1.Задание:
q = 5 H/м, F = 25 H, M = 2 H*м, α = 60°
2.Преобразование заданных сил:
F x = F cos α = 25cos 60° = 12.500H, F y = F sinα = 25 sin60° = 21.625H
Q = q*1 = 5*6 =30 H.
Рис.2.5
3.Составим расчётную схему (рис.2.5)
4.Уравнения равновесия и определение реакций опор:
а) ∑M ia = 0; -Q *3 – F y * 7.5+ R B * 8.5 – M = 0;
б) ∑M iB =0: - R Ay *8.5 + Q *5.5 + F y *1 – M = 0:
в) ∑F ix =0: R Ax + F x =0: R Ax = - F x = - 12.500H.
5.Проверка:
∑F iy = 0; R Ay = Q – F y + R B = 0; 21.724 – 30 – 21.651 + 29.927 = 0; 0 = 0
Наиболее нагруженной является опора В – R B =29.927 Н. Нагрузка на опору А – R A =
Литература:
Таблица 2.1
| № варианта | № схемы на рис. 2.6 | q , Н/м | F, Н | М, Н м | , град |
| 4,5 | |||||
| 2,5 | |||||
| 4,5 | |||||
| 3,5 | |||||
| 6,5 | |||||
| 1,5 | |||||
| 0,5 | |||||
Иметь представление о видах опор и возникающих реакциях в опорах.
Знать три формы уравнений равновесия и уметь их использовать для определения реакций в опорах балочных систем.
Уметь выполнять проверку правильности решения.
Виды нагрузок и разновидности опор
Виды нагрузок
По способу приложения нагрузки делятся на
· сосредоточенные и
· распределенные.
Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосредоточенной.
Часто нагрузка распределена по значительной площадке или линии (давление воды на плотину, давление снега на крышу и т.п.), тогда нагрузку считают распределенной.
В задачах статики для абсолютно твердых тел распределенную нагрузку можно заменить равнодействующей сосредоточенной силой (рис. 6.1).
q - интенсивность нагрузки; I - длина стержня;
G = ql - равнодействующая распределенной нагрузки.
Разновидности опор балочных систем (см. лекцию 1)
Балка - конструктивная деталь в виде прямого бруса, закрепленная на опорах и изгибаемая приложенными к ней силами.
Высота сечения балки незначительна по сравнению с длиной.
Жесткая заделка (защемление) (рис. 6.2)
Опора не допускает перемещений и поворотов. Заделку заменяют двумя составляющими силы Rax
и и парой с моментом Mr.
Для определения этих неизвестных удобно использовать систему уравнений в виде
Каждое уравнение имеет одну неизвестную величину и решается без подстановок.
Для контроля правильности решений используют дополнительное уравнение моментов относительно любой точки на балке, например
Шарнирно-подвижная опора (рис. 6.3)
Опора допускает поворот вокруг шарнира и перемещение вдоль опорной поверхности. Реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.
Шарнирно-неподвижная опора (рис. 6.4)
Опора допускает поворот вокруг шарнира и может быть заменена двумя составляющими силы вдоль осей координат.
Балка на двух шарнирных опорах (рис. 6.5)
 |
Не известны три силы, две из них - вертикальные, следовательно, удобнее для определения неизвестных использовать систему уравнений во второй форме:
Составляются уравнения моментов относительно точек крепления балки. Поскольку момент силы, проходящей через точку крепления, равен 0, в уравнении останется одна неизвестная сила.
Для контроля правильности решения используется дополнительное уравнение
При равновесии твердого тела, где можно выбрать три точки, не лежащие на одной прямой, удобно использовать систему уравнений в третьей форме (рис. 6.6):
Примеры решения задач
Пример 1. Одноопорная (защемленная) балка нагружена сосредоточенными силами и парой сил (рис. 6.7). Определить реакции заделки.
 |
Решение
2. В заделке может возникнуть реакция, представляемая двум: составляющими (R Ay ,R Ax ), и реактивный момент М A . Наносим на схему балки возможные направления реакций.
Замечание. Если направления выбраны неверно, при расчетах получим отрицательные значения реакций. В этом случае реакции на схеме следует направить в противоположную сторону, не повторяя расчета.
В силу малой высоты считают, что все точки балки находятся на одной прямой; все три неизвестные реакции приложены в одной точке. Для решения удобно использовать систему уравнений равновесия в первой форме. Каждое уравнение будет содержать одну неизвестную.
3. Используем систему уравнений:
Знаки полученных реакций (+), следовательно, направления реакций выбраны верно.
3. Для проверки правильности решения составляем уравнение моментов относительно точки В.
Подставляем значения полученных реакций:
Решение выполнено верно.
Пример 2. Двухопорная балка с шарнирными опорами А и В нагружена сосредоточенной силой F, распределенной нагрузкой с интенсивностью q и парой сил с моментом т (рис. 6.8а). Определить реакции опор.
 |
Решение
1. Левая опора (точка А) - подвижный шарнир, здесь реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.
Правая опора (точка В) - неподвижный шарнир, здесь наносим две составляющие реакции вдоль осей координат. Ось Ох совмещаем с продольной осью балки.
2. Поскольку на схеме возникнут две неизвестные вертикальные реакции, использовать первую форму уравнений равновесия нецелесообразно.
3. Заменяем распределенную нагрузку сосредоточенной:
G = ql; G = 2*6 = 12 кН.
Сосредоточенную силу помещаем в середине пролета, далее задача решается с сосредоточенными силами (рис. 6.8, б).
4. Наносим возможные реакции в опорах (направление произвольное).
5. Для решения выбираем уравнение равновесия в виде
6. Составляем уравнения моментов относительно точек крепления:
Реакция отрицательная, следовательно, R А y нужно направить н противоположную сторону.
7. Используя уравнение проекций, получим:
R Bx - горизонтальная реакция в опоре В.
Реакция отрицательна, следовательно, на схеме ее направление будет противоположно выбранному.
8. Проверка правильности решения. Для этого используем четвертое уравнение равновесия
Подставим полученные значения реакций. Если условие выполнено, решение верно:
5,1 - 12 + 34,6 – 25 -0,7 = 0.
Пример 3.
Определить опорные реакции балки, показанной на рис. 1.17, а
.
Решение
Рассмотрим равновесие балки АВ. Отбросим опорное закрепление (заделку) и заменим его действие реакциями Н А, V A и т А (рис. 1.17, б ). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.
Выбираем систему координат (рис. 1.17,6) и составляем уравнения равновесия:
Составим проверочное уравнение
следовательно, реакции определены верно.
Пример 4.
Для заданной балки (рис. 1.18, а
) определить опорные реакции.
Решение
Рассматриваем равновесие балки АВ. Отбрасываем опорные закрепления и заменяем их действие реакциями (рис. 1.18,6). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.
Выбираем систему координат (см. рис. 1.18,6) и составляем уравнения равновесия:
q 1 ,
Расстояние от точки А q 1 (а + b);
Равнодействующая равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q 2 ;
Расстояние от точки А до линии действия равнодействующей q 2 (d - с).
Подставив числовые значения, получим
откуда V B = 28,8 кН;
- расстояние от точки В
до линии действия равнодействующей q 1 (a+b);
- расстояние от точки В
до линии действия равнодействующей q 2 (d - c).
откуда V A = 81,2 кН.
Составляем проверочное уравнение:
Пример 5. Для заданной стержневой системы (рис. 1.19, а ) определить усилия в стержнях.
Решение
Рассмотрим равновесие балки AB, к которой приложены как заданные, так и искомые силы.
На балку действуют равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, сила Р и сосредоточенный момент т .
Освободим балку от связей и заменим их действие реакциями (рис. 1.19, б ). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.
Выбираем систему координат (см. рис. 1.19, б ) и составляем уравнения равновесия:
Где q (a + b) - равнодействующая
равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q (на чертеже она показана штриховой линией).
Подставив числовые значения, получим:
откуда N AC = 16 кН;
Напомним, что сумма проекций сил, образующих пару, на любую ось равна нулю;
где N BD cos α N BD ", N BF cos β - вертикальная составляющая силы N BF (линии действия горизонтальных составляющих сил N BD и N BF проходят через точку А и поэтому их моменты относительно точки А равны нулю). Подставляя числовые значения и учитывая, что N BD = 1,41 N BF , получаем:
откуда N BF = 33,1 кН.
Тогда N BD = 1,41*33,1 = 46,7 кН.
Для определения усилий в стержнях не было использовано уравнение равновесия: ΣP to = 0. Если усилия в стержнях определены верно, то сумма проекций на ось v всех сил, действующих на балку, должна быть равна нулю. Проектируя все силы на ось v, получаем:
следовательно, усилия в стержнях определены верно.
Пример 6. Для заданной плоской рамы (рис. 1.20, а ) определить опорные реакции
Решение
Освобождаем раму от связей и заменяем их действие реакциями N А, V A , V B (рис. 1.20, б ). Получили плоскую систему произвольно расположенных сил.
Выбираем систему координат (см. рис. 1.20, б
) и составляем уравнения равновесия:
где Р 2 cos α - вертикальная составляющая силы Р 2 ;
P 2 sin α - горизонтальная составляющая силы Р 2 ;
2qa - равнодействующая равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q (показана штриховой линией);
откуда V B = 5,27qa;
откуда H A =7qa
линия действия силы Р 2 cosα проходит через точку В и поэтому ее момент относительно точки В равен нулю
откуда V A = 7qa.
Для определения реакций не было использовано уравнение равновесия ΣP iv =0. Если реакции определены верно, то сумма проекций на ось v всех сил, действующих на раму, должна быть равна нулю. Проектируя все силы на ось v, получаем:
следовательно, опорные реакции определены верно.
Напомним, что сумма проекций сил, составляющих пару с моментом т, на любую ось равна нулю.
Контрольные вопросы и задания
1. Замените распределенную нагрузку сосредоточенной и определите расстояние от точки приложения равнодействующей до опоры А (рис. 6.9).
2. Рассчитайте величину суммарного момента сил системы относительно точки А (рис. 6.10).
3. Какую из форм уравнений равновесия целесообразно использовать при определении реакций в заделке?
4. Какую форму системы уравнений равновесия целесообразно использовать при определении реакций в опорах двухопорной балки и почему?
 |
5. Определите реактивный момент в заделке одноопорной балки, изображенной на схеме (рис. 6.11).
6. Определите вертикальную реакцию в заделке для балки, представленной на рис. 6.11.
На опорах балок возникают реакции, с определения которых следует начинать решения всех задач по расчету изгиба.
Реакции опор определяются из уравнений равновесия (статики), которые можно представить в двух различных вариантах:
1) в виде суммы проекций всех сил на оси х и у , а также суммы моментов сил (включая реакции) относительно любой точки по оси балки:
2) в виде суммы всех сил на одну из координатных осей х или у и двух сумм моментов сил (включая реакции) относительно двух точек, лежащих на оси балки:
Выбор того или оного варианта составления уравнений равновесия, а также выбор точек по направлению координатных осей, используемых при составлении этих уравнений, производится в каждом конкретном случае с таким расчетом, чтобы по возможности не производить совместное решение уравнений. Для проверки правильности определения опорных реакций полученные их величины рекомендуется подставлять в какое-либо уравнение равновесия, не использованное ранее.
При определении реакций их направления можно выбирать произвольно. Если же реакции в расчете оказались отрицательными, то это означает, что их направление выбрано неправильно. В этом случае на расчетной схеме первоначальное направление реакций перечеркивают и указывают их обратное направление. В последующих расчетах величины реакций считаются положительными.
Однако можно заранее предугадать правильное направление реакций на основании мысленно представленной упругой линии балки после ее нагружения внешними усилиями (рис 8.5): при «отрыве» балки от опоры (опора А ) реакция R А имеет направление к опоре; при «вдавливании» балки в опору (опора В ) реакция R В имеет направление от опоры.
Рисунок 8.5 – К определению направлению реакций
Рассмотрим типичные случаи определения реакций для простейших видов нагрузок.
Если на балку действует интенсивностью q , как показано на рис.8.6, то при определении опорных реакций нагрузка заменяется ее равнодействующей Р , равной произведению интенсивности нагрузки q на длину участка ее действия l
Примером сплошной равномерно распределенной нагрузки может служить собственный вес балки или часто расположенные нагрузки на участке ее длины.
Рисунок 8.6 – Случай равномерно распределенной нагрузки на балку
Точка приложения сплошной равномерно распределенной нагрузки q лежит посредине того участка, на который она действует; при треугольном законе действия распределенной нагрузки равнодействующая прикладывается по ее центру тяжести.
Размерность интенсивности нагрузки q выражается обычно в кН/м или кН/см.
Рассмотрим последовательность определения опорных реакций для случая нагрузки балки, показанной на рис.8.7:
1. На расчетной схеме балки показывается принятое направление реакций R А и R В , возникающих на опорах. Поскольку внешняя нагрузка действует в вертикальной плоскости перпендикулярно оси балки, то горизонтальная реакция на шарнирно-неподвижной опоре А отсутствует.
2. Поскольку в данном случае неизвестных реакций две (R А и R В ), то в качестве равновесия для определения реакций принимается два уравнения
При составлении этих условий равновесия следует принять правило знаков для моментов сил, включая реакции. Обычно принимается такое привило для внешних (активных) знаков: если моменты от сил направлены по часовой стрелке, то они считаются положительными.
Тогда первое условие равновесия (8.4) приводит к уравнению относительно неизвестной реакции R В (см. рис.8.6)
Реакция получалась положительной, следовательно ее направление принято правильным.
Аналогично используем второе условие равновесия (8.4), приводящее к уравнению относительно второй реакции R А :
Снова реакция оказалась положительной, следовательно ее первоначально направление на расчетной схеме выбрано правильно.
3. Правильность определения величин реакций проверяем из использования еще одного, ранее не использованного, условия равновесия
При этом проекции сил, совпадающих с направлением оси у , считаются положительными, а направленных в обратную сторону – отрицательными.
Тогда на основании использования условия (8.5) имеем:
Полученное тождество (0=0) свидетельствует о правильности определения величин реакций в расчете изгиба балки.
Рассмотрим другой типичный случай нагрузки в виде внецентренно расположенной сосредоточенной силы Р по длине балки l (рис.8.7).
Рисунок 8.7 – Случай нагрузки балки сосредоточенной силой
1. Покажем на расчетной схеме реакции R А и R В . Они направлены, как было указано выше, навстречу нагрузке.
2. Реакции определим из условий равновесия:
Реакции получились положительными, следовательно, их первоначальное направление на расчетной схеме выбрано верно.
Заметим заодно, что реакция на опоре В оказалась больше, чем реакция на опоре А : R В ˃R А . Это следует из того, что сила Р находится ближе к опоре В , а значит и нагружает ее больше.
3. Проверка:
Полученное тождество свидетельствует о правильности определения реакции.
Рассмотрим еще один случай нагрузки балки в пролете внешним сосредоточенным моментом (рис. 8.8), что имеет место в практических расчетах изгиба.
| 𝔐 |
Рисунок 8.8 – Случай нагружения балки сосредоточенным моментом
1. Покажем на расчетной схеме предполагаемое направление реакций (вначале мы не знаем, правильно ли приняты такие направления).
2. Реакции определяем из уравнений равновесия:
Реакция получилась положительной, следовательно, ее первоначальное положение выбрано верно.
Реакция оказалась отрицательной, а это означает, что ее направление выбрано неправильно. Поэтому на расчетной схеме зачеркиваем первоначально (ошибочно) принятое направление R А и показываем обратное (истинное) направление (см.ри.8.8). В дальнейших расчетах считаем реакцию R А с правильным направлением положительной.
3. Проверка:
Использованное уравнение равновесия для балки выполняется, а это означает правильность определения реакций и их направления.
Если балка при поперечном изгибе имеет такие опоры, что общее число реакций, возникающих на опорах, не превышают двух, то реакции всегда могут быть определены из двух уравнений равновесия типа (8.2). Такие балки, реакции которых определяются из этих уравнений статики, называются статически определимыми балками. Эти балки могут быть таких простейших видов (рис. 8.9):
Рисунок 8.9 – Статически определимые балки
1) балка с одним жестко защемленным и другим свободным концом, иначе консоль (рис.8.9, а ); 2) шарнирно-опертые балки (рис.8.9, б и 8.9, в ).
Балки, у которых общее число реакций опор больше числа уравнений равновесия, называются статически неопределимыми (расчет их изгиба будет рассмотрен в п. 8.10). Для таких балок реакции опор определяются из совместного решения уравнений статики и условий совместимости деформаций.
Решение многих задач статики сводится к определению реакций опор, с помощью которых закрепляются балки и мостовые фермы.
В технике обычно встречаются три типа опорных закреплений (кроме рассмотренных в § 2):
1. Подвижная шарнирная опора (рис. 28, опора А). Реакция такой опоры направлена по нормали к поверхности на которую опираются катки подвижной опоры.
2. Неподвижная
шарнирная опора (рис. 28,
опора В). Реакция
такой опоры проходит через ось шарнира
и может иметь любое направление в
плоскости чертежа. При решении задач
будем реакцию
изображать ее составляющими
и
по направлениям координатных осей.
Модуль
определим по формуле
.
3. Жесткая
заделка (рис. 29, а).
Рассматривая заделанный конец балки и
стену как одно целое, жесткую заделку
изображают так, как показано на рис. 29, б.
В этом случае на балку в ее поперечном
сечении действует со стороны заделанного
конца система распределенных сил
(реакций). Считая эти силы приведенными
к центру А сечения, можно их заменить
одной силой
и парой с неизвестным моментомm A
(рис. 29, а).
Силу
можно изобразить ее составляющими
,
(рис. 29, б).
Таким образом, для нахождения реакции жесткой заделки надо определить три неизвестные величины X A , Y A , m A .
Рис. 28 Рис. 29
Отметим также, что в инженерных расчетах часто приходится встречаться с нагрузками, распределенными вдоль поверхности по тому или иному закону. Рассмотрим некоторые примеры распределенных сил.
Плоская система распределенных сил характеризуется ее интенсивностью q, т.е. значением силы, приходящейся на единицу длины нагруженного отрезка. Измеряется интенсивность в ньютонах, деленных на метры (Н/м).
а) Силы,
равномерно распределенные вдоль отрезка
прямой (рис. 30, а).
Для такой системы интенсивность q имеет
постоянное значение. При расчетах эту
систему сил можно заменить равнодействующей
.
По модулю
Q = a q . (33)
Приложена сила Q в середине отрезка АВ.
б) Силы,
распределенные вдоль отрезка прямой
по линейному закону (рис. 30, б).
Для этих сил интенсивность q является
величиной переменной, растущей от нуля
до максимального значения q m .
Модуль равнодействующей
в этом случае определяется по формуле
Q = 0,5a q m . (34)
Приложена
сила
на расстоянииа
/3
от стороны ВС треугольника АВС.
Задача 3. Определить реакции неподвижной шарнирной опоры А и подвижной опоры В балки (рис. 31), на которую действуют активные силы: одна известная сосредоточенная сила F = 5 кН, приложенная в точке С под углом 60 0 , и одна пара сил с моментом m = 8 кНм.
,
пару сил с моментомm
и реакции связей
,
,
(реакцию неподвижной шарнирной опоры
А изображаем двумя ее составляющими).
В результате имеем произвольную плоскую
систему сил. 3) Проведем координатные
оси x,
y
и составляем условия равновесия (28). Для
вычисления момента силы
,
иногда, удобно разложить ее на составляющие
и
,
модули которых равняются
F 1 = F cos60 0 = 2,5 кН,
F 2 = F cos30 0 = 4,33 кН.
Тогда получим:
,
,
Решая эту систему уравнений, найдем:
X A = F 1 = 2,5 кН, Y B = (m + F 2 ∙5)/3 = 9,88 кН, Y A = F 2 – Y B = – 5,55 кН.
Знак минус реакции Y A показывает, что эта реакция направлена вертикально вниз.
Для проверки составим уравнение моментов относительно нового центра, например, относительно точки В:
5,55∙3 – 8 – 4,33∙2 = – 0,01 ≈ 0.
Задача 4. Определить реакции заделки консольной балки (рис. 32), на которую действуют активные силы: сосредоточенная сила F = 6 кН, приложенная в точке С под углом 45 0 , равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 2 кН/м и пара сил с моментом m = 3 кНм.
Решение.
1) Выбираем
объект исследования, т.е. рассматриваем
равновесие балки АВС. 2) Изобразим
внешние силы, действующие на балку: силу
,
равномерно распределенную нагрузку
интенсивностьюq,
пару сил с моментом m
и реакции заделки, т.е. три неизвестные
величины X A ,
Y A ,
m A
(реакцию жесткой заделки изображаем
двумя ее составляющими X A ,
Y A ,
а пару – неизвестным моментом m A ,
как на рис. 29). Силу
разложим на две составляющие
и
,
модули которых равняются
F 1 = F 2 = F cos45 0 = 4,24 кН,
а распределенную нагрузку интенсивностью
q
заменим сосредоточенной силой
с модулем равным
Q = 3∙q = 6 кН.
Сила
приложена в середине отрезка АВ. В
результате имеем произвольную плоскую
систему сил. 3) Проведем координатные
оси x,
y
и составляем уравнения равновесия (2):
,
,
Решая эти уравнения, найдем:
X A = F 1 = 4,24 кН, Y A = Q – F 2 = 1,76 кН, m A = Q∙1,5 + m – F 2 ∙5 = – 9,2 кНм.
Для проверки составим уравнение моментов относительно точки С:
, – 9,2 + 21 – 3 – 8,8 = 0.
Задача 5. Определить реакции опор А, В, С и усилие в промежуточном шарнире D составной конструкции (рис. 33), на которую действуют активные силы: сосредоточенная сила F = 4 кН, приложенная в точке Е под углом 45 0 , равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 2 кН/м и пара сил с моментом m = 10 кНм.
Решение.
Один из способов решения задач об
определении реакции опор составной
конструкции состоит в том, что конструкцию
расчленяют на отдельные тела и составляют
условия равновесия каждого из тел в
отдельности. Воспользуемся этим способом
и разобьем конструкцию на две части:
левую AD
и правую DC.
В результате приходим к задаче о
равновесии двух тел. Силовые схемы
задачи показаны на рис. 7,8. Для упрощения
вычислений разложим силу
на составляющие
и
,
модули которых равны F 1 = F 2 = F cos45 0 = 2,83 кН,
а распределенную нагрузку интенсивностью
q
заменим сосредоточенной силой
с модулем равнымQ = 10 кН.
Сила
приложена в середине отрезкаBD.
Рис. 34 Рис. 35
Анализ приведенных силовых схем показывает, что они включают шесть неизвестных величин: X A , Y A , Y B , X D , Y D , Y C .
Так как на рис. 34,35 имеются плоские системы уравновешенных сил, то для них можно записать условия равновесия (28) в виде шести линейных алгебраических уравнений:
Левая часть Правая часть
,
,
,
,
Поскольку составленная система шести уравнений зависит от шести неизвестных X A , Y A , Y B , X D , Y D , Y C , то она является замкнутой.
Решая систему, найдем:
X A = – 2,83 кН, Y A = – 0,93 кН, Y B = 11,76 кН, Y C = 2 кН, X D = 0, Y D = 2 кН.
Для проверки составим уравнение моментов относительно точки D:
2,83∙7 – (– 0,93)∙15 – 11,76∙5 + 10∙2,5 – 10 + 2∙5 = – 0,04 ≈ 0.
Балки предназначены для восприятия поперечных нагрузок. По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные (действуют на точку) и распределенные (действуют на значительную площадь или длину).
q - интенсивность нагрузки, кн/м
G = q L – равнодействующая распределенной нагрузки
Балки имеют опорные устройства для сопряжения их с другими элементами и передачи на них усилий. Применяются следующие виды опор:
· Шарнирно-подвижная
Эта опора допускает поворот вокруг оси и линейное перемещение параллельно опорной плоскости. Реакция направлена перпендикулярно опорной поверхности.
· Шарнирно-неподвижная
Эта опора допускает поворот вокруг оси, но не допускает никаких линейных перемещений. Направление и значение опорной реакции неизвестно, поэтому заменяется двумя составляющими R A у и R A х вдоль осей координат.
· Жесткая заделка (защемление)
Опора не допускает перемещений и поворотов. Неизвестны не только направление и значение опорной реакции, но и точка её приложения. Поэтому заделку заменяют двумя составляющими R A у, R A х и моментом М А. Для определения этих неизвестных удобно использовать систему уравнений.
∑ m А (F к)= 0
Для контроля правильности решения используется дополнительное уравнение моментов относительно любой точки на консольной балке, например точка В ∑ m В (F к)= 0
Пример. Определить опорные реакции жесткой заделки консольной балки длиной 8 метров, на конце которой подвешен груз Р = 1 кн. Сила тяжести балки G = 0,4 кн приложена посередине балки.
Освобождаем балку от связей, т.е отбрасываем заделку и заменяем её действие реакциями. Выбираем координатные оси и составляем уравнения равновесия.
∑ F kx = 0 R A х = 0
∑ F k у = 0 R A у – G – P = 0
∑ m А (F к)= 0 - M A + G L / 2 + P L = 0
Решая уравнения, получим R A у = G + P = 0,4 + 1 = 1,4 кн
M A = G L / 2 + P L = 0,4 . 4 + 1 . 8 = 9,6 кн. м
Проверяем полученные значения реакций:
∑ m в (F к)= 0 - M A + R A у L - G L / 2 = 0
9,6 + 1,4 . 8 – 0,4 . 4 = 0
11,2 + 11,2 = 0 реакции найдены верно.
Для балок расположенных на двух шарнирных опорах удобнее определять опорные реакции по 2 системе уравнений, поскольку момент силы на опоре равен нулю и в уравнении остается одна неизвестная сила.
∑ m А (F к)= 0
∑ m В (F k)= 0
Для контроля правильности решения используется дополнительное уравнение ∑ F k у = 0
1) Освобождаем балку от опор, а их действие заменяем опорными реакциями;
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 3.1. Определить опорные реакции консольной балки (рис. 3.3).
Решение. Реакцию заделки представляем в виде двух сил Az и Ay , направленных, как указано на чертеже, и реактивного момента MA .
Составляем уравнение равновесия балки.
1. Приравняем нулю сумму проекций на ось z всех сил, действующих на балку. Получаем Az = 0. При отсутствии горизонтальной нагрузки горизонтальная составляющая реакции равна нулю.
2. То же, на ось y: сумма сил равна нулю. Равномерно распределенную нагрузку q заменяем равнодействующей qaз, приложенной посредине участка aз:
Ay - F1 - qaз = 0,
Ay = F1 + qaз.
Вертикальная составляющая реакции в консольной балке равна сумме сил, приложенных к балке.
3. Составляем третье уравнение равновесия. Приравняем нулю сумму моментов всех сил относительно какой-нибудь точки, например относительно точки А:
Знак минус показывает, что принятое вначале направление реактивного момента следует изменить на обратное. Итак, реактивный момент в заделке равен сумме моментов внешних сил относительно заделки.
Пример 3.2. Определить опорные реакции двухопорной балки (рис. 3.4). Такие балки обычно называют простыми.
Решение. Так как горизонтальная нагрузка отсутствует, то Az
= 0
Вместо второго уравнения можно было использовать условие того, что сумма сил по оси Y равна нулю, которое ы данном случае следует применить для проверки решения:
25 - 40 - 40 + 55 = 0, т.е. тождество.
Пример 3.3. Определить реакции опор балки ломаного очертания (рис. 3.5).
Решение.
т.е. реакция Ay направлена не вверх, а вниз. Для проверки правильности решения можно использовать, например, условие того, что сумма моментов относительно точки В равна нулю.
Полезные ресурсы по теме "Определение опорных реакций"
1. , которая выдаст расписанное решение
любой балки. .
Кроме построения эпюр эта программа так же подбирает профиль сечения по условию прочности на изгиб, считает прогибы и углы поворота в балке.
2. , которая строит 4 вида эпюр и рассчитывает реакции для любых балок (даже для статически неопределимых).
5 семестр. Основы функционирования машин и их элементов в системе промышленного сервиса
Теоретическая механика это наука, в которой изучаются общие законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.
Раздел 1.Статика- это раздел механики, в котором изучаются методы преобразования систем сил в эквивалентные системы и устанавливаются условия равновесия сил, приложенных к твердому телу.
Сила - это мера механического взаимодействия тел, определяющая интенсивность и направление этого взаимодействия. Сила определяется тремя элементами: числовым значением (модулем), направлением и точкой приложения. Сила изображается вектором.
Реакцией связи называется сила или система сил, выражающая механическое действие связи на тело.Одним из основных положений механики является пpuнцип освобождаемости т тел от связей, согласно которому несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, на которое кроме задаваемых сил действуют реакции связей.
Задача 1. Определение реакций опор балки под действием плоской произвольной системы сил
Определить реакции R A и R B опор балки, размеры и нагрузки которой показаны на рис. 1,а (поменять значения F и М).
Решение. 1. Составление расчетной схемы . Объект равновесия – балка АС . Активные силы: F = 3 к H , пара сил с M = 4 к H ∙м = 1 кН/м , которую заменяем одной сосредоточенной силой R q = q ∙ 1= 1∙ 3 = 3 к H ; приложенной к точке D на расстоянии 1,5 м от края консоли. Применяя принцип освобождаемости от связей изобразим в точках А и В реакции. На балку действует плоская произвольная система сил, в которой три неизвестных реакции
и
.
Ось х направим вдоль горизонтальной оси балки вправо, а ось у - вертикально вверх (рис.1,а).
2. Условия равновесия:
.
3. Составление уравнений равновесия:
4. Определение искомых величин, проверка правильности решения и анализ полученных результатов .
Решая систему уравнений (1 – 3), определяем неизвестные реакции
из (2): кН .
Величина реакции R A х имеет отрицательный знак, значит направлена не так, как показано на рисунке, а в противоположную сторону.
Для проверки правильности решения составим уравнение суммы моментов относительно точки Е.
Подставив в это уравнение значения входящих в него величин, получим:
0,58 ∙ 1 – 4 + 5,02 ∙ 3 – 3 ∙ 3,5 = 0.
Уравнение удовлетворяется тождественно, что подтверждает правильность решения задачи.
Задача 2.Определение реакций опор составной конструкции
Конструкция состоит из двух тел, соединенных шарнирно в точке С . Тело АС закреплено с помощью заделки, тело ВС имеет шарнирно-подвижную (скользящую) опору (рис. 1). На тела системы действуют распределенная по линейному закону сила с максимальной интенсивностью q тах = 2 кН/м , сила F = 4 кН под углом α = 30 o и пара сил с моментом М = 3 кНм . Геометрические размеры указаны в метрах. Определить реакции опор и усилие, передаваемое через шарнир. Вес элементов конструкции не учитывать.
Рис. 1 Рис. 2
Решение .Если рассмотреть равновесие всей конструкции в целом, учитывая, что реакция заделки состоит из силы неизвестного направления и пары, а реакция скользящей опоры перпендикулярна опорной поверхности, то расчетная схема будет иметь вид, представленный на рис. 2.
Здесь равнодействующая распределенной нагрузки
расположена на расстоянии двух метров (1/3 длины AD ) от точки А ; М А - неизвестный момент заделки.
В данной системе сил четыре неизвестных реакции (Х А , Y A , M A , R B ), и их нельзя определить из трех уравнений равновесия плоской произвольной системы сил.
Поэтому расчленим систему на отдельные тела по шарниру (рис.3).
Силу, приложенную в шарнире, следует при этом учитывать лишь на одном теле (любом из них). Уравнения для тела ВС :
Отсюда Х С = – 1 кН ; У С = 0; R B = 1 кН .
Уравнения для тела АС :
Здесь при вычислении момента силы F относительно точки А использована теорема Вариньона: сила F разложена на составляющие F cos α и F sin α и определена сумма их моментов.
Из последней системы уравнений находим:
Х А = – 1,54 кН ; У А = 2 кН ; М А = – 10,8 кНм .
Для проверки полученного решения составим уравнение моментов сил для всей конструкции относительно точки D (рис. 2):
Вывод: проверка показала, что модули реакций определены верно. Знак минус у реакций говорит о том, что реально они направлены в противоположные стороны.