Что такое вершина многоугольника 1. Многоугольники

До сих пор в центре нашего внимания был самый простой из многоугольников - треугольник. В этой главе будем изучать более сложные многоугольники, в основном различные виды четырёхугольников: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат. Кроме того, в этой главе речь пойдёт о симметрии геометрических фигур, в том числе указанных четырёхугольников. Симметрия играет важную роль не только в геометрии, но и искусстве, архитектуре, технике. В окружающей обстановке мы видим немало симметричных предметов - фасады зданий, узоры на коврах и тканях, листья деревьев.

Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС, CD, ..., EF, FG так, что смежные отрезки (т. е. отрезки АВ и ВС, ВС и CD, ..., EF и FG) не лежат на одной прямой. Такая фигура называется ломаной ABCD...FG (рис. 150, а). Отрезки, из которых составлена ломаная, называются её звеньями , а концы этих отрезков - вершинами ломаной . Сумма длин всех звеньев называется длиной ломаной . Концы ломаной ABCD ... FG, т. е. точки А и G, могут быть различными, а могут совпадать (рис. 150, б). В последнем случае ломаная называется замкнутой , и её звенья FG и АВ также считаются смежными. Если несмежные звенья замкнутой ломаной не имеют общих точек, то эта ломаная называется многоугольником , её звенья называются сторонами многоугольника, а длина ломаной называется периметром многоугольника .

Рис. 150

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон. Примером многоугольника является треугольник. На рисунке 151 изображены четырёхугольник ABCD и шестиугольник А 1 А 2 А 3 А 4 А 5 А 6 .


Рис. 151

Фигура, изображённая на рисунке 152, не является многоугольником, так как несмежные отрезки С 1 C 5 и С 2 С 3 (а также С 3 С 4 и С 1 C 5) имеют общую точку.


Рис. 152

Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними . Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника .

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней , а другая - внешней областью многоугольника .

На рисунке 153 внутренние области многоугольников закрашены. Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области, также называют многоугольником.


Рис. 153

Выпуклый многоугольник

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

На рисунке 154 многоугольник F 1 является выпуклым, а многоугольник F 2 - невыпуклым.


Рис. 154

Рассмотрим выпуклый n-угольник, изображённый на рисунке 155,а. Углы А n А 1 А 2 , А 1 А 2 А 3 , ..., А n-1 А n А 1 называются углами этого многоугольника. Найдём их сумму.


Рис. 155

Для этого соединим диагоналями вершину А 1 с другими вершинами. В результате получим n - 2 треугольника (рис. 155, б), сумма углов которых равна сумме углов n-угольника. Сумма углов каждого треугольника равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника АхАг... Аn равна (n - 2) 180°.

Итак, сумма углов выпуклого п.-угольника равна (n - 2) 180° .

Внешним углом выпуклого многоугольника называется угол, смежный с углом многоугольника. Если при каждой вершине выпуклого многоугольника А 1 А 2 ... А n взять по одному внешнему углу, то сумма этих внешних углов окажется равной

    180° - А 1 + 180° - А 2 + ... + 180° - А n =
    = n 180° - (A 1 + А 2 +... + А n) =
    = п 180° - (n - 2) 180° = 360°.

Таким образом, сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° .

Четырёхугольник

Каждый четырёхугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали (рис. 156). Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, также называются противоположными .


Рис. 156

Четырёхугольники бывают выпуклые и невыпуклые. На рисунке 156, о изображён выпуклый четырёхугольник, а на рисунке 156, б - невыпуклый.

Каждая диагональ выпуклого четырёхугольника разделяет его на два треугольника. Одна из диагоналей невыпуклого четырёхугольника также разделяет его на два треугольника (см. рис. 156, б).

Так как сумма углов выпуклого n-угольника равна (n - 2) 180°, то сумма углов выпуклого четырёхугольника равна 360° .

Задачи

363. Начертите выпуклые пятиугольник и шестиугольник. В каждом многоугольнике из какой-нибудь вершины проведите все диагонали. На сколько треугольников разделяют проведённые диагонали каждый многоугольник?

364. Найдите сумму углов выпуклого:

    а) пятиугольника;
    б) шестиугольника;
    в) десятиугольника.

365. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен:

    а) 90°;
    б) 60°;
    в) 120°;
    г) 108°?

366. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм и 5 мм.

367. Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 66 см, первая сторона больше второй на 8 см и на столько же меньше третьей стороны, а четвёртая - в три раза больше второй.

368. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они равны друг другу.

369. Найдите углы А, В и С выпуклого четырёхугольника ABCD, если ∠A = ∠B = ∠C, a AD = 135°.

370. Найдите углы выпуклого четырёхугольника, если они пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Ответы к задачам

    364. а) 540°; б) 720°; в) 1440°.

    365. а) Четыре; б) три; в) шесть; г) пять.

    366. 23 мм, 20 мм, 19 мм, 18 мм.

    367. 15 см, 7 см, 23 см, 21см.

    368. 90°. 369. 75°. 370. 30°, 60°, 120°, 150°.

Многоугольники 1. Что такое многоугольник? 2. Какая зависимость существует между числом вершин, числом углов и числом сторон многоугольника? Ответ: число вершин многоугольника равно числу его сторон и числу его углов. 3. Чем отличается друг от друга два пятиугольника и два шестиугольника? 4. Какой многоугольник называется правильным? Ответ: многоугольник называется правильным, если все стороны и все углы у него равны. Правильный пятиугольник Правильный шестиугольник Неправильный пятиугольник Неправильный шестиугольник


5. Какие правильные многоугольники мы уже изучали, назовите их свойства? 6. Чем отличаются многоугольники, изображенные на рисунке 1, от многоугольников, изображенных на рисунке 2? Рисунок 1 Рисунок 2 Выпуклые многоугольники Невыпуклые многоугольники (вогнутые) Ответ: если весь многоугольник лежит по одну сторону от любой из его сторон, то он в вв выпуклый, если нет, то в вв вогнутый. 7. Что такое диагональ многоугольника? 8. Начертите два четырехугольника, проведите их диагонали. 9. Что вы заметили? Ответ: выпуклый многоугольник содержит все свои диагонали, вогнутый – не все!




Домашнее задание 1. Выучить записи в тетради Выполнить задания 15 и 18 на стр.82, все начертить в домашней тетради! Дополнительное задание Рабочая тетрадь 3, стр. 38, задания 29 и 30


Решение задач 1. Является ли шестиугольник, изображенный на рисунке 1, правильным? Рис Является ли восьмиугольник, изображенный на рисунке 2, правильным, а треугольник? Рисунок 3 v vv v v 2. Определите, какие из многоугольников, представленных на рисунке 3, являются выпуклыми, а какие вогнутыми. Рис. 2


4. Сколько диагоналей имеет треугольник? 5. Сколько диагоналей имеет четырехугольник? 6. Сколько диагоналей имеет пятиугольник? 7. Сколько диагоналей имеет шестиугольник? 8. Существует ли многоугольник, число диагоналей которого равно числу его сторон? Решение задач Нет диагоналей Две диагонали Пять диагоналей Девять диагоналей Пятиугольник!

Многоугольник — Математика 1 класс (Моро)

Краткое описание:

Вы уже многое знаете о геометрии, но, наверное, хотите знать еще больше. Поэтому наше путешествие в удивительную страну Геометрию продолжается. Вам хорошо знакома такая фигура, как отрезок. А что получится, если три отрезка соединятся между собой? Верно, получится ломаная линия. Вы, конечно же, помните, что ломаные линии могут быть замкнутыми и незамкнутыми. Если три отрезка соединить в замкнутую ломаную линию, то получится … Догадались? Получится треугольник. А можно ли получить другие фигуры из ломаной линии? Конечно, можно! Все зависит от количества звеньев ломаной линии. Так, например, если звеньев будет четыре, то получится четырехугольник, пять звеньев – пятиугольник и так далее. А теперь подумайте, как мы можем назвать одним словом фигуры, образованные замкнутой ломаной линией? Воспользуйтесь подсказкой: у всех этих фигур звенья образуют разное количество углов. Такие фигуры мы назовем многоугольниками. Многоугольники встречаются вас на каждом шагу. Так, крышка парты – это четырехугольник, некоторые дорожные знаки – треугольники, клумбы могут пятиугольниками, шестиугольниками. Тема «Многоугольники» неисчерпаема. Вы встретитесь с ней не только в первом классе, но и будете постоянно встречаться с ней все время, пока обучаетесь в школе. Подружитесь с многоугольниками!

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Цели занятия: На этом занятии вы познакомитесь с понятиями многоугольника и четырехугольниками, узнаете, чему равна сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника.

Многоугольники

Рассмотрим понятие «многоугольник». Интуитивно вы, конечно, представляете, что это за геометрическая фигура. Вы встречались с многоугольниками и в начальной школе, и в 5–6 классах. Вам знакомы частные случаи многоугольников: треугольник, прямоугольник, квадрат.

Сформулируем определение многоугольника и приведем примеры.

Для определения понятия «многоугольник» также используют понятия «ломаная». Ломаная – это геометрическая фигура, которая состоит из отрезков, последовательно соединенных друг с другом.

Используя понятие «ломаная», можно дать такое определение понятию «Многоугольник».

Рассмотрим примеры фигур, которые являются многоугольниками и не являются ими. На рисунках 1 и 2 приведены примеры многоугольников: выпуклые пятиугольник и семиугольник на рисунке 1 и невыпуклые четырехугольник и шестиугольник на рисунке 2.

Отрезки, из которых состоит ломаная, называются сторонами многоугольника , а концы отрезков – его вершинами .

Задание 1.

Изобразите у себя в тетрадях семиугольник, изображенный на рисунке 1. Продолжите его стороны за его вершины. Убедитесь в том, что для него справедливо наше утверждение.

Обозначьте вершины семиугольника. Выпишите их к себе в тетрадь. Выпишите стороны семиугольника.

Как вы видите, в любом n-угольнике количество вершин равно количеству сторон .

Теперь посмотрим на изображение невыпуклого четырехугольника. Проделаем ту же операцию с ним: продолжим его стороны за его вершины (рисунок 4).

Задание 2.

Изобразите у себя в тетрадях шестиугольник, изображенный на рисунке 2. Продолжите его стороны за его вершины. Убедитесь в том, что для него справедливо наше утверждение.

На рисунке 5 изображена замкнутая ломаная, которая многоугольников не является. Почему?

Многоугольником также называют геометрическую фигуру, состоящую из его сторон и внутренней области.

Поработайте с материалами первой части видеоурока «Многоугольники».

В материалах видеоурока сформулировано определение периметра многоугольника .

Определение. Периметром многоугольника называется сумма всех его сторон.

Кроме того, вы узнали, что среди многоугольников, как и среди треугольников, выделяются правильные многоугольники .

Определение. Правильным называется выпуклый многоугольник, все стороны и все углы которого равны.

Кроме таких элементов многоугольника как вершины и стороны, выделим диагонали многоугольника .

Определение. Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий несмежные вершины.

Сумма внутренних и внешних углов выпуклого многоугольника

Прежде чем переходить к изучению следующей части занятия, поработайте с электронным образовательным ресурсом « ».

Теперь сформулируем теорему о сумме углов выпуклого многоугольника.

Теорема (о сумме углов выпуклого многоугольника).
Сумма углов выпуклого n -угольника равна .

С доказательством этой теоремы познакомьтесь, поработав с материалами второй части видеоурока «Многоугольники».

Задание 3.

Запишите два варианта доказательства этой теоремы себе в тетрадь. Если у вас возникли вопросы, обсудите их на или в видеокомнате.

Пример 1.

Найдем сумму внутренних углов некоторых выпуклых многоугольников.

1. Четырехугольник

В четырехугольнике n = 4. Поэтому сумма углов четырехугольника равна

2. Пятиугольник

В пятиугольнике n = 5. Поэтому сумма углов пятиугольника равна

3. Шестиугольник

В шестиугольнике n = 6. Поэтому сумма углов шестиугольника равна

4. Восьмиугольник

В восьмиугольнике n = 8. Поэтому сумма углов восьмиугольника равна

5. Десятиугольник

В десятиугольнике n = 10. Поэтому сумма углов десятиугольника равна

В том случае, когда многоугольник является правильным, мы можем найти величину каждого его угла. Действительно, так как все углы правильного многоугольника равны, то величина каждого его угла равна .

Пример 2.

Найдем величину угла для некоторых правильных многоугольников.

1. Пятиугольник

В пятиугольнике n = 5. Поэтому угол в пятиугольнике равен

2. Шестиугольник

В шестиугольнике n = 6. Поэтому угол в пятиугольнике равен

3. Восьмиугольник

В восьмиугольнике n = 8. Поэтому угол в восьмиугольнике равен

4. Десятиугольник